[论文解读] Improved Quantum Algorithms for Fidelity Estimation

András Gilyén, Alexander Poremba|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 21

一句话总结

该论文提出了在低秩条件下具有可证明保证的新量子算法用于保真度估计，利用区块编码、QSVT（量子奇异值变换）和谱采样，并对一般情况证明了困难性和采样复杂度下界。

ABSTRACT

Fidelity is a fundamental measure for the closeness of two quantum states, which is important both from a theoretical and a practical point of view. Yet, in general, it is difficult to give good estimates of fidelity, especially when one works with mixed states over Hilbert spaces of very high dimension. Although, there has been some progress on fidelity estimation, all prior work either requires a large number of identical copies of the relevant states, or relies on unproven heuristics. In this work, we improve on both of these aspects by developing new and efficient quantum algorithms for fidelity estimation with provable performance guarantees in case at least one of the states is approximately low-rank. Our algorithms use advanced quantum linear algebra techniques, such as the quantum singular value transformation, as well as density matrix exponentiation and quantum spectral sampling. As a complementary result, we prove that fidelity estimation to any non-trivial constant additive accuracy is hard in general, by giving a sample complexity lower bound that depends polynomially on the dimension. Moreover, if circuit descriptions for the relevant states are provided, we show that the task is hard for the complexity class called (honest verifier) quantum statistical zero knowledge via a reduction to a closely related result by Watrous.

研究动机与目标

• 激发在量子态之间进行可靠保真度估计的需求，特别是对于高维混态。
• 在低秩近似假设下开发具有可证明性能保证的高效量子算法。
• 将新算法与先前方法进行比较，并为一般问题确立困难性和下界。

提出的方法

• 使用量子奇异值变换（QSVT）的基于区块编码的保真度估计，以构建与 sqrt(rho) sqrt(sigma) 相关的矩阵的区块编码。
• 使用 Hadamard 测试和纯净访问来实现并组合 rho、sigma 及其变换的区块编码。
• 引入 rho 的软阈值版本 rho_theta 以约束条件数并实现高效估计。
• 应用量子谱采样对 rho 的本征值/本征向量进行采样，并通过 Hadamard 测试估计对角间以外的矩阵元素。
• 开发非均匀的优惠券收集者分析，以界定用于谱估计收集本征值所需的样本数。
• 提供纯净访问和采样访问工作流，并给出相应的时间/样本复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当至少一个状态近似为低秩时，是否可以高效估计保真度 F(rho, sigma)？
• RQ2 在纯净访问与采样访问模型下，保真度估计的时间复杂度与样本复杂度是多少？
• RQ3 一般情况下保真度估计是否困难，如是，在何种框架或困难度分类下？
• RQ4 对 rho 进行截断（软阈值处理）如何影响估计精度和资源需求？
• RQ5 对于常数精度的保真度估计，现实的样本复杂度下界是什么？

主要发现

• 基于区块编码的保真度估计算法在纯净访问模型下实现多项式时间和样本复杂度 poly(r, 1/ε) 的时间与样本复杂度；复杂度尺度为 Õ(r^{5/2}/ε^{5})(T_ρ+T_σ)（在 θ/delta 参数方面有进一步改进）。
• 谱采样算法在纯净访问模型下给出一个 ε-近似保真度估计，时间为 Õ((T_ρ+T_σ)/(θ^{10.5} ε^4 Δ) + T_ρ/(θ^3 min{θ^3 ε, Δ}^3))，在低秩条件下截断时具有有利的行为。
• 论文证明在一般情况下，对任意非平凡常数加性精度的保真度估计是 QSZK_HV-hard。
• 推论和命题建立了多项式拷贝复杂度下界：对常数精度估计至少需要 Ω(r/δ) 拷贝，在特定设置下有更强的下界。
• 相比先前的纯净访问方法，区块编码方法在秩和误差方面的依赖性有所改善，而谱采样在低秩情景下提供了互补鲁棒性。
• 作者讨论了并行工作，并强调他们的谱采样方法在最坏情况下较慢，但在实际低秩情况下通过截断可显著受益。