[论文解读] Improved quantum algorithms for linear and nonlinear differential equations

Hari Krovi|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种显著改进的量子算法，用于求解线性和非线性常微分方程（ODE），将先前的工作扩展至处理非对角化和奇异矩阵，同时实现了误差依赖性的指数级改进。通过基于矩阵指数范数表征运行时间，并利用先进的块编码技术，该方法实现了对更广泛类别的ODE（包括具有非正则、非对角化矩阵的耗散非线性系统）的高效模拟。

ABSTRACT

We present substantially generalized and improved quantum algorithms over prior work for inhomogeneous linear and nonlinear ordinary differential equations (ODE). Specifically, we show how the norm of the matrix exponential characterizes the run time of quantum algorithms for linear ODEs opening the door to an application to a wider class of linear and nonlinear ODEs. In Berry et al., (2017), a quantum algorithm for a certain class of linear ODEs is given, where the matrix involved needs to be diagonalizable. The quantum algorithm for linear ODEs presented here extends to many classes of non-diagonalizable matrices. The algorithm here is also exponentially faster than the bounds derived in Berry et al., (2017) for certain classes of diagonalizable matrices. Our linear ODE algorithm is then applied to nonlinear differential equations using Carleman linearization (an approach taken recently by us in Liu et al., (2021)). The improvement over that result is two-fold. First, we obtain an exponentially better dependence on error. This kind of logarithmic dependence on error has also been achieved by Xue et al., (2021), but only for homogeneous nonlinear equations. Second, the present algorithm can handle any sparse, invertible matrix (that models dissipation) if it has a negative log-norm (including non-diagonalizable matrices), whereas Liu et al., (2021) and Xue et al., (2021) additionally require normality.

研究动机与目标

• 将线性ODE的量子算法扩展至非对角化矩阵，包括非对角化和奇异矩阵。
• 与先前工作相比，实现解决方案误差依赖性的指数级改进，特别是在非齐次和非线性系统中。
• 将非线性ODE的Carleman线性化方法推广至非正规或非对角化非线性矩阵的情形。
• 基于矩阵指数范数提供运行时间表征，取代对矩阵特征向量矩阵的可对角化性和条件数的依赖。
• 通过在不依赖谱分解的前提下界定向控制门和查询复杂度，提升量子线性系统算法（QLSA）在ODE背景下的效率。

提出的方法

• 使用块编码技术表示矩阵函数，特别是矩阵指数，从而实现线性ODE的高效量子模拟。
• 提出一种基于矩阵指数范数的新运行时间界，该界可推广至非对角化矩阵，且避免对特征向量矩阵条件数的依赖。
• 通过Carleman线性化将改进的线性ODE算法应用于非线性ODE，将非线性系统转化为无穷维线性系统。
• 在Carleman嵌入中采用一级截断方案以近似求解，误差界通过扰动分析推导得出。
• 使用量子态制备和幅度放大技术，以高保真度提取归一化的解态，确保误差的对数依赖性。
• 采用一种改进的线性系统公式，避免了对角化需求，同时保持低条件数和有界的门复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法在求解线性ODE时能否扩展至非对角化和奇异矩阵，同时保持效率？
• RQ2 与对角化性或条件数等谱性质相比，矩阵指数范数是否能提供更鲁棒且更通用的运行时间界？
• RQ3 在非正规矩阵情况下，非线性ODE的量子算法能否将误差依赖性从多项式改进为对数级？
• RQ4 对于非正规或非对角化非线性项的非线性ODE，Carleman线性化方法是否可行？
• RQ5 能否通过用谱半径ρ(A)替代矩阵范数∥A∥来改进运行时间缩放，特别是对稳定矩阵使用伪谱理论？

主要发现

• 该算法即使在非正规和非对角化矩阵情况下，与先前工作相比，也实现了误差依赖性的指数级改进（对数级）。
• 运行时间由矩阵指数范数有界，使得该方法可应用于先前方法失效的非对角化和奇异矩阵。
• 对于特征向量矩阵条件数较高的可对角化矩阵，当矩阵具有非正对数范数时，门复杂度相比[1]呈指数级改善。
• 只要线性部分具有负对数范数，该算法即可成功处理具有非正规、非对角化矩阵的非线性ODE，突破了[2]和[3]中对正规性的要求。
• 在截断级别1时，测量到正确解态的概率下界为$1/(81N g_u^2)$，确保了高效的态制备与提取。
• 最终态与归一化解的保真度满足$\|y_1/\|y_1\| - u(T)/\|u(T)\|\| \leq \epsilon$，误差缩放与目标精度呈对数关系。