[论文解读] Improved quantum test for linearity of a Boolean function

Kaushik Chakraborty, Subhamoy Maitra|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

本文提出了一种量子算法，用于测试布尔函数是否为仿射函数（线性或带常数项），或与任何仿射函数相距ε。该算法通过结合Deutsch-Jozsa与Grover算法，实现了O(ε⁻¹ᐟ²)的查询复杂度。该方法在Deutsch-Jozsa算法输出的基础上使用振幅放大技术，以高概率检测非仿射性，优于先前的量子界O(ε⁻²ᐟ³)。

ABSTRACT

Let a Boolean function be available as a black-box (oracle) and one likes to devise an algorithm to test whether it has certain property or it is $ε$-far from having that property. The efficiency of the algorithm is judged by the number of calls to the oracle so that one can decide, with high probability, between these two alternatives. The best known quantum algorithm for testing whether a function is linear or $ε$-far $(0 < ε< \frac{1}{2})$ from linear functions requires $O(ε^{-\frac{2}{3}})$ many calls [Hillery and Andersson, Physical Review A 84, 062329 (2011)]. We show that this can be improved to $O(ε^{-\frac{1}{2}})$ by using the Deutsch-Jozsa and the Grover Algorithms.

研究动机与目标

• 降低测试布尔函数是否为仿射函数或与仿射函数相距ε的量子查询复杂度。
• 通过利用量子振幅放大技术，改进现有量子界O(ε⁻²ᐟ³)的线性测试性能。
• 探索沃尔什谱、Deutsch-Jozsa算法与Grover算法在量子查询复杂度中的性质测试之间的相互作用。
• 建立更紧致的查询复杂度界，使其趋近于Grover算法所暗示的理论极限。

提出的方法

• 对布尔函数预言机应用Deutsch-Jozsa算法，以准备编码沃尔什谱信息的量子态|Ψ⟩。
• 测量所得态，获得候选输入a⁽⁰⁾，若函数为仿射，则该输入具有非零振幅的概率最高。
• 构建一个类似Grover的预言机g(x)，用于标记除a⁽⁰⁾外的所有输入，从而在与|a⁽⁰⁾⟩正交的子空间中实现振幅放大。
• 对Grover扩散算符与预言机g联合执行t轮迭代，以放大除|a⁽⁰⁾⟩外状态的振幅。
• 若函数非仿射，则经过t轮迭代后|a⁽⁰⁾⟩的振幅将降低，导致最终测量结果不同于a⁽⁰⁾。
• 若最终测量结果不同于a⁽⁰⁾，则终止并报告为非仿射；否则以高置信度报告函数为仿射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过量子算法将测试仿射函数的查询复杂度提升至O(ε⁻²ᐟ³)以下？
• RQ2 如何将Deutsch-Jozsa算法的输出作为振幅放大在性质测试中的起点？
• RQ3 对于ε-远离的函数，检测非仿射性的最优Grover迭代次数是多少？
• RQ4 查询复杂度如何随ε变化？是否可趋近于Grover算法所暗示的理论下界？

主要发现

• 所提出的算法实现了O(ε⁻¹ᐟ²)的查询复杂度，优于先前的量子界O(ε⁻²ᐟ³)。
• 该算法在Deutsch-Jozsa算法输出的基础上使用振幅放大，以高概率检测非仿射性。
• 对于ε-远离的函数，经过t ≈ O(√(1/ε))轮Grover迭代后，初始态|a⁽⁰⁾⟩的振幅将被降低，使得测量结果不同于a⁽⁰⁾⟩的概率至少为2/3。
• 分析表明，当函数为ε-远离时，有sinθ ≥ √(2ε)，从而可利用Grover方法放大检测非仿射性的概率。
• 当函数与仿射集的距离δ为常数时，该算法运行时间为O(2ⁿᐟ²)；当δ = 2ⁿ/ζ(n)时，运行时间为O(√ζ(n))，因此对高度非线性函数具有高效性。
• 结果表明，由于Grover算法的最优性，进一步降低至O(ε⁻¹ᐟ²)以下可能不可行，提示所提方法已接近最优。