[论文解读] Improved Region-Growing and Combinatorial Algorithms for $k$-Route Cut Problems

Guru Guruganesh, Laura Sanità+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文提出了针对 $k$-route cut 問題的改進組合與區域增長演算法，包括 $k$-route multicut、multiway cut 和 $s$-$t$ cut。提出了一個新穎的遞迴區域增長引理，避免了先前方法中 $O(\log^2 r)$ 的成本膨脹，實現了 $k$-route multicut 的 $O(\ln r \ln \ln r)$-近似，並顯著改善了 $k$-route multiway cut 的雙準則近似保證。

ABSTRACT

We study the {\em $k$-route} generalizations of various cut problems, the most general of which is \emph{$k$-route multicut} ($k$-MC) problem, wherein we have $r$ source-sink pairs and the goal is to delete a minimum-cost set of edges to reduce the edge-connectivity of every source-sink pair to below $k$. The $k$-route extensions of multiway cut ($k$-MWC), and the minimum $s$-$t$ cut problem ($k$-$(s,t)$-cut), are similarly defined. We present various approximation and hardness results for these $k$-route cut problems that improve the state-of-the-art for these problems in several cases. (i) For {\em $k$-route multiway cut}, we devise simple, but surprisingly effective, combinatorial algorithms that yield bicriteria approximation guarantees that markedly improve upon the previous-best guarantees. (ii) For {\em $k$-route multicut}, we design algorithms that improve upon the previous-best approximation factors by roughly an $O(\sqrt{\log r})$-factor, when $k=2$, and for general $k$ and unit costs and any fixed violation of the connectivity threshold $k$. The main technical innovation is the definition of a new, powerful \emph{region growing} lemma that allows us to perform region-growing in a recursive fashion even though the LP solution yields a {\em different metric} for each source-sink pair. (iii) We complement these results by showing that the {\em $k$-route $s$-$t$ cut} problem is at least as hard to approximate as the {\em densest-$k$-subgraph} (DkS) problem on uniform hypergraphs.

研究动机与目标

• 為解決設計高效近似演算法以處理 $k$-route cut 問題的挑戰，此類問題透過要求連通性降低至某個閾值 $k$ 來廣義化經典的 multicut 與 multiway cut 問題。
• 克服先前區域增長方法中因線性規劃解內各來源-目的地對使用不同度量所導致的高成本膨脹問題。
• 改善 $k$-route multiway cut 的雙準則近似保證，並在 $k=2$ 時將 $k$-route multicut 的近似因子降低 $O(\sqrt{\log r})$。
• 建立一個強大的難度結果，顯示 $k$-route $s$-$t$ cut 至少與在均勻超圖上的最密 $k$-子圖問題一樣困難。

提出的方法

• 提出一個新的遞迴區域增長引理，即使每個來源-目的地對皆來自線性規劃解的不同度量，也能有效擴展區域。
• 採用雙準則方法，允許對 $k$-連通性閾值有輕微違反（$\gamma > 1$），以取得更佳的成本邊界。
• 使用基於體積的分析方法，結合節點與邊的貢獻，以最佳解與對數因子來界定切割集合的成本。
• 採用遞迴演算法結構，將圖分割並分別處理高連通性組件，以降低深度與成本。
• 利用結合線性規劃鬆弛與組合式捨入的對偶分析框架，以維持成本效率。
• 透過調整區域增長過程以適應節點移除約束，將技術延伸至節點切割變體（$k$-route node-multicut）。

实验结果

研究问题

• RQ1 我們能否設計一個 $k$-route multicut 的區域增長演算法，以避免先前方法中固有的 $O(\log^2 r)$ 成本膨脹？
• RQ2 對於 $k$-route multiway cut，最佳可達的雙準則近似比為何？是否可超越先前的界限？
• RQ3 $k$-route $s$-$t$ cut 的複雜度與其他困難問題相比如何？對近似演算法有何影響？
• RQ4 我們能否在不改進最密 $k$-子圖問題現有最佳成果的情況下，達成 $\operatorname{poly}(k)$-近似於 $k$-route $s$-$t$ cut？

主要发现

• 本文對 $k$-route multicut 實現了 $O(\ln r \ln \ln r)$-近似，當 $k=2$ 時，相較於先前最佳因子改善了 $O(\sqrt{\log r})$。
• 對於 $k$-route multiway cut，所提出的組合式演算法產生雙準則近似，其成本邊界為 $O((k-1)^2 \ln r \ln \ln r) \cdot \text{OPT}$，顯著優於先前的保證。
• 新的遞迴區域增長引理透過基於體積的半徑選擇機制，處理每對之間的差異度量，實現無 $O(\log^2 r)$ 膨脹的成本有效切割。
• 針對 $k$-route node-multicut 的演算法達到了與邊切割版本相同的漸近近似比，將此框架延伸至基於節點的連通性問題。
• 強大的難度結果顯示，$k$-route $s$-$t$ cut 的近似難度至少與在均勻超圖上的最密 $k$-子圖問題一樣困難，暗示若不改進 DkS 問題，則任何 $\operatorname{poly}(k)$-近似皆極不可能。
• 分析證明，設定 $\gamma = \frac{k}{k-1}$ 可得一可行解，其成本為 $O((k-1)^2 \ln r \ln \ln r) \cdot \text{OPT}$，與 multiway cut 情況下的雙準則邊界一致。