[论文解读] Improved Routing on the Delaunay Triangulation

Michael D. Dennis, Ljubomir Perković+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用 1

一句话总结

该论文通过新颖的摊销技术，确定了六边形Delaunay三角剖分的精确最坏情况拉伸因子为2，该技术用于界定三角形线性序列中最短路径长度。作者提出了一种名为“米老鼠”的构造方法，其拉伸因子可无限接近2，从而证明了该界是紧致的，并为其他Delaunay变体（包括经典的基于圆的（#-Delaunay）三角剖分）提供了可应用的框架。

ABSTRACT

A geometric graph G=(P,E) is a set of points in the plane and edges between pairs of points, where the weight of an edge is equal to the Euclidean distance between its two endpoints. In local routing we find a path through G from a source vertex s to a destination vertex t, using only knowledge of the current vertex, its incident edges, and the locations of s and t. We present an algorithm for local routing on the Delaunay triangulation, and show that it finds a path between a source vertex s and a target vertex t that is not longer than 3.56|st|, improving the previous bound of 5.9|st|.

研究动机与目标

• 通过研究比经典基于圆的版本更简单的多边形基变体，填补对Delaunay三角剖分拉伸因子理解上的空白。
• 为计算结构化Delaunay三角剖分中拉伸因子的紧致上界，开发新的分析技术。
• 确定使用正六边形定义的Delaunay三角剖分的精确最坏情况拉伸因子。
• 提供一个紧致构造，其拉伸因子可无限接近2，从而证明该界是最优的。

提出的方法

• 引入一类基于正六边形的新型Delaunay三角剖分（9-Delaunay三角剖分），其中空六边形条件取代了空圆条件。
• 定义并分析“平缓路径”——即三角形间夹角变化最小的路径——表明其主导了拉伸因子的行为。
• 提出一个摊销引理（引理8），通过将总路径长度与局部几何参数（如δf和δb）关联，来界定三角形序列中的总路径长度。
• 采用分段线性路径分解：将最短路径划分为无平缓路径的三角形序列段与沿平缓路径的段。
• 构建一个紧致的下界示例——“米老鼠”三角剖分——其中最短路径长度趋近于(5√3 − 1)倍的x方向距离，从而证明上界是紧致的。
• 利用涉及距离、内切圆半径和路径线段长度的几何不等式，推导出以dx(s,t)和局部偏移量表示的路径长度上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用正六边形定义的Delaunay三角剖分的精确最坏情况拉伸因子是多少？
• RQ2 摊销技术能否用于推导结构化Delaunay三角剖分中路径长度的紧致上界？
• RQ3 类似于已知的#−Delaunay三角剖分下界示例的构造，是否也能在基于六边形的变体中产生紧致界？
• RQ4 本文为9-Delaunay三角剖分开发的技术能否推广，以改进#−Delaunay三角剖分的界？

主要发现

• 基于正六边形定义的9-Delaunay三角剖分的精确最坏情况拉伸因子为2。
• 拉伸因子界2是紧致的，这通过一个名为“米老鼠”三角剖分的构造得到证明，其拉伸因子可无限接近2。
• 最坏情况拉伸因子源于无平缓路径的三角形线性序列，而非平缓路径。
• 引理8中开发的摊销技术，为无平缓路径序列提供了紧致上界(5√3 − 1) ≈ 7.66。
• “米老鼠”构造与Xia和Zhang为#−Delaunay三角剖分提出的已知下界构造高度相似，表明存在共享的结构原理。
• 本文开发的技术，特别是基于摊销的路径长度分析，具有可迁移性，可能有助于填补#−Delaunay三角剖分的拉伸因子差距。