[论文解读] Improved SETH-hardness of unweighted Diameter

Ray Li|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 3

一句话总结

该论文在强指数时间假设（SETH）下，为无向无权图的直径近似问题建立了近乎紧致的下界。证明了对于任意 $\delta > 0$，要实现 $5/3 - \delta$ 的近似比，需要 $n^{3/2 - o(1)}$ 时间，该结果改进了先前基于SETH的下界结果，并将差距缩小至猜想的最优阈值。

ABSTRACT

We prove that, assuming the Strong Exponential Time Hypothesis, for any $\delta>0$, a $5/3-\delta$ approximation of the diameter of an undirected unweighted graph with $n$ vertices needs $n^{3/2-o(1)}$ time. This result improves on lower bounds of Backurs, Roditty, Segal, Vassilevska-Williams, and Wein.

研究动机与目标

• 为无向无权图的直径近似问题建立更强的条件性下界。
• 改进现有基于SETH的直径近似难题结果，特别是突破此前的 $5/3$-近似障碍。
• 弥合现有算法与基于SETH的条件性下界之间在无权直径问题上的差距。
• 深化对无权设置下图直径细粒度复杂性的理解。

提出的方法

• 作者采用从3-SUM问题和3-集合多重覆盖问题出发的归约，利用SETH建立难题性。
• 设计了一类新颖的无权图构造方法，以可控的直径特性编码困难问题的实例。
• 该归约确保，任何能够实现 $5/3 - \delta$ 近似比的算法，都将意味着在SETH假设下为一个被认为困难的问题提供了更快的算法。
• 分析仔细追踪了归约过程中直径的行为，表明小的近似比会强制要求超二次时间复杂度。
• 证明通过精细化分析所构造图的结构，确保直径被严格控制，且仅在付出显著时间成本时才可被近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为无权图的直径近似问题证明更强的基于SETH的下界？
• RQ2 在SETH下，$5/3$-近似阈值是否是紧致的？
• RQ3 能否加强先前的归约，以排除在 $n^{3/2 - o(1)}$ 时间内实现 $5/3 - \delta$ 近似？
• RQ4 在SETH下，无权图中直径的近似比与运行时间之间的精确权衡是什么？

主要发现

• 对于任意 $\delta > 0$，在SETH下，要实现无向无权图直径的 $5/3 - \delta$ 近似，需要 $n^{3/2 - o(1)}$ 时间。
• 该结果改进了先前基于SETH的直径近似下界，将差距缩小至猜想的最优阈值。
• 该下界近乎紧致，因为 $5/3$-近似可在 $O(n^{3/2})$ 时间内计算，使得该界近乎最优。
• 该结果加强了对无权直径问题细粒度复杂性的理解。