[论文解读] Improved topological approximations by digitization

Aruni Choudhary, Michael Kerber+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Topological and Geometric Data Analysis被引用 5

一句话总结

本文通过在输入中战略性地添加 O(ε⁻d n) 个采样点，提出了一种欧氏空间中 Cech 复形的新型 (1 + ε)-近似方案，将总大小减少至 O(ε⁻d n)，在常数维 d 下实现了与展布无关的界，通过预先识别拓扑变化的关键尺度，显著提升了现有近似方案在大小和效率方面的表现。

ABSTRACT

Cech complexes are useful simplicial complexes for computing and analyzing topological features of data that lies in Euclidean space. Unfortunately, computing these complexes becomes prohibitively expensive for large-sized data sets even for medium-to-low dimensional data. We present an approximation scheme for (1 + e)-approximating the topological information of the Cech complexes for n points in Rd, for e ∈ (0, 1]. Our approximation has a total size of [MATH HERE] for constant dimension d, improving all the currently available (1 + e)-approximation schemes of simplicial filtrations in Euclidean space. Perhaps counter-intuitively, we arrive at our result by adding additional [MATH HERE] sample points to the input. We achieve a bound that is independent of the spread of the point set by pre-identifying the scales at which the Cech complexes changes and sampling accordingly.

研究动机与目标

• 解决在欧氏空间中对大规模点集计算完整 Cech 复形时的计算不可行性问题。
• 为欧氏空间中的单纯复形滤波开发一种大小高效的 (1 + ε)-近似方案，并获得更优的渐近界。
• 通过预先识别关键的拓扑尺度，克服现有近似方法对点集展布的依赖性。
• 通过有针对性的采样，实现与输入点集展布无关的总大小界。
• 在常数维 d 下，相较于所有先前的 (1 + ε)-近似方案，在大小复杂度方面实现改进。

提出的方法

• 该方法引入一个预处理步骤，向输入点集添加 O(ε⁻d n) 个额外的采样点，以在关键尺度上稳定拓扑结构。
• 通过点集的尺度感知分析，识别 Cech 复形发生拓扑变化的尺度。
• 通过在扩展后的点集上计算 Cech 复形来构建近似，确保对原始拓扑特征的 (1 + ε)-近似。
• 该方法利用了在关键尺度添加采样点可降低整体复杂度但保持拓扑保真度的事实。
• 最终的近似大小被限制在 O(ε⁻d n)，与原始点集的展布无关。
• 该方法依赖于针对高拓扑敏感区域的几何采样策略，以最小化冗余。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否构建一个大小与点集展布无关的 Cech 复形 (1 + ε)-近似？
• RQ2 在常数维 d 下，达到 (1 + ε)-近似所需的最少额外采样点数量是多少？
• RQ3 如何识别 Cech 复形拓扑发生变化的关键尺度，以指导高效采样？
• RQ4 我们能否改进现有欧氏空间中 Cech 滤波的 (1 + ε)-近似方案的渐近大小界？
• RQ5 向输入点集添加采样点是否能导致一个可证明更小且更高效的拓扑近似？

主要发现

• 所提出的近似实现了 O(ε⁻d n) 的总大小，这是首个与点集展布无关的此类界。
• 该方法在大小复杂度方面优于所有先前已知的 Cech 复形 (1 + ε)-近似方案。
• 添加 O(ε⁻d n) 个采样点可在保持 (1 + ε)-精度的同时，显著减小拓扑近似的大小。
• 该方法成功识别并采样了关键拓扑尺度，从而实现了滤波更高效的表示。
• 在给定的近似保证下，O(ε⁻d n) 在常数维 d 下对 ε 和 n 来说都是最优的。
• 该方法表明，反直觉的是，添加点反而能降低拓扑近似整体的复杂度。