[论文解读] Improvements of some operator inequalities involving positive linear maps via the Kantorovich constant

Leila Nasiri, Mojtaba Bakherad|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2018

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过引入Kantorovich常数，改进了涉及正线性映射的算子不等式。在谱界约束下，建立了加权算术平均与几何平均的更紧致的反向不等式，推广了此前针对 $ p \geq 2 $ 的结果，并通过Kantorovich常数及其变体提供了更紧的界。

ABSTRACT

We present some operator inequalities for positive linear maps that generalize and improve the derived results in some recent years. For instant, if $A$ and $B$ are positive operators and $m,m^{'},M,M^{'}$ are positive real numbers satisfying either one of the condition $ 0

研究动机与目标

• 改进近期在正线性映射下关于算子平均的反向不等式。
• 将Kantorovich型不等式的有效范围从 $ p \leq 2 $ 扩展至 $ p \geq 2 $，改进现有界。
• 通过Kantorovich常数提出Ando不等式的新型反向形式，结合算子的谱界。
• 通过谱约束与Kantorovich常数，统一并加强先前关于算子平均与正线性映射的结果。

提出的方法

• 在谱界 $ 0 < m \leq B \leq m' < M' \leq A \leq M $ 下，利用Kantorovich常数 $ K(h) = \frac{(1+h)^2}{4h} $，其中 $ h = \frac{M}{m} $，推导出关于 $ \Phi^p(A \nabla_\nu B + 2rMm(A^{-1} \nabla B^{-1} - A^{-1} \sharp B^{-1})) $ 的新不等式。
• 引入一个改进的常数 $ \left( \frac{K(h)}{4^{\frac{2}{p}-1} K^{r_1}(\sqrt{h'})} \right)^p $，其中 $ r_1 = \min\{2r, 1-2r\} $，以收紧 $ \Phi^p(A \sharp_\nu B) $ 的上界。
• 应用Lowner-Heinz定理与谱映射，建立正酉线性映射下算子平均及其变换之间的关系。
• 在算子 $ C = A^{-1/2} B A^{-1/2} $ 的谱上使用不等式 $ \nu t^{1-\nu} + (1-\nu)\lambda_0 t^{-\nu} \leq \mu_0 $，其中 $ \mu_0, \lambda_0 $ 由谱界导出。
• 结合改进的算术-几何平均不等式与Kantorovich常数，推导出Ando不等式的反向形式。
• 采用Seo工作中的常数 $ K(m,M,\nu) $，并与 $ K(h)^{-r} $ 结合，改进 $ \Phi(A) \sharp_\nu \Phi(B) \leq K(m,M,\nu)^{-1} K(h)^{-r} \Phi(A \sharp_\nu B) $ 的反向界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将反向不等式 $ \Phi^p\left(\frac{A+B}{2}\right) \leq K^p(h) \Phi^p(A \sharp B) $ 扩展至 $ p \geq 2 $，并使用更优的常数？
• RQ2 Kantorovich常数如何用于在谱约束下改进涉及 $ A \nabla_\nu B $ 与 $ A \sharp_\nu B $ 的不等式？
• RQ3 能否通过同时引入谱比 $ h $ 与参数 $ r = \min\{\nu, 1-\nu\} $ 来改进Ando不等式的反向形式？
• RQ4 对于 $ p \geq 2 $，$ \Phi^p(A \nabla_\nu B + 2rMm(A^{-1} \nabla B^{-1} - A^{-1} \sharp B^{-1})) $ 的最优常数如何以 $ \Phi^p(A \sharp_\nu B) $ 表示？
• RQ5 当 $ A $ 与 $ B $ 的谱分离时，即 $ M_1 < m_2 $ 或 $ M_2 < m_1 $，Ando不等式的反向形式是否可以进一步加强？

主要发现

• 对于 $ 0 < m \leq B \leq m' < M' \leq A \leq M $，当 $ p \geq 2 $ 时，不等式 $ \Phi^p\left(A \nabla_\nu B + 2rMm(A^{-1} \nabla B^{-1} - A^{-1} \sharp B^{-1})\right) \leq \left( \frac{K(h)}{4^{\frac{2}{p}-1} K^{r_1}(\sqrt{h'})} \right)^p \Phi^p(A \sharp_\nu B) $ 成立，其中 $ r_1 = \min\{2r, 1-2r\} $，$ h = \frac{M}{m} $，$ h' = \frac{M'}{m'} $，且 $ K(h) = \frac{(1+h)^2}{4h} $。
• 该界同样适用于 $ (\Phi(A) \sharp_\nu \Phi(B))^p $，表明该不等式在图像及其图像的平均值上均一致成立。
• Ando不等式的反向形式被改进为 $ \Phi(A) \sharp_\nu \Phi(B) \leq K(m,M,\nu)^{-1} K(h)^{-r} \Phi(A \sharp_\nu B) $，其中 $ h = \frac{m_2^2}{M_1^2} $，在 $ M_1 < m_2 $ 条件下成立，且 $ K(h) $ 在 $ (1, \infty) $ 上单调递增。
• 常数 $ \left( \frac{K(h)}{4^{\frac{2}{p}-1} K^{r_1}(\sqrt{h'})} \right)^p $ 比此前的常数更紧致，尤其当 $ h' > 1 $ 时，由于 $ K^{r_1}(\sqrt{h'}) $ 的递减性，其优势更为显著。
• 当 $ \nu = \frac{1}{2} $ 时，结果退化为Seo不等式的改进版本，其中常数 $ K(h)^{-1/2} $ 改进了图像几何平均的界。
• 当 $ h' > 1 $ 时，改进效果显著，因为 $ K^{r_1}(\sqrt{h'}) $ 随 $ h' $ 增大而增大，从而降低整体常数，增强反向不等式。