[论文解读] Improvements on Cantor-Zassenhaus Factorization Algorithm

Michele Elia, Davide Schipani|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对有限域上多项式因式分解的Cantor-Zassenhaus算法的简化与优化版本，通过使用结构化的随机多项式降低计算成本。该文建立了对完全分裂多项式进行因式分解所需尝试次数的更紧致界：在$\mathbb{F}_{2^m}$上为$O(2^m / 3^t)$，在奇素数$p$的$\mathbb{F}_{p^m}$上为$O(p^m / 2^t)$，从而改进了概率性和确定性成功概率的估计。

ABSTRACT

After revisiting Cantor-Zassenhaus polynomial factorization algorithm, we describe a new simplified version of it, which requires less computational cost. Moreover we show that it is able to find a factor of a fully splitting polynomial of degree $t$ over $\mathbb F_{2^m}$ with $O(\frac{2^m}{3^{t}})$ attempts and over $\mathbb F_{p^m}$ for odd $p$ with $O(\frac{p^m}{2^{t}})$ attempts.

研究动机与目标

• 简化并降低经典Cantor-Zassenhaus因式分解算法的计算成本。
• 推导在$\mathbb{F}_{2^m}$和$\mathbb{F}_{p^m}$上对完全分裂多项式进行因式分解所需尝试次数的更紧致界。
• 为该算法建立确定性成功阈值，识别出使得因式分解在一次或两次尝试内成功的最小次数$t$。
• 通过特征和估计与对称函数界，改进概率成功率分析。

提出的方法

• 提出使用$c(z) = z$和$c(z) = z + \beta$（其中$\beta \neq 0$为随机值）作为测试多项式，减少对任意随机选择的需求。
• 通过$a(z) = c(z)^{\ell_m} \mod \sigma(z)$应用模幂运算，其中$\ell_m = (p^m - 1)/k$，$k=3$（当$p=2$时）或$k=2$（当$p>2$时），利用$\mathbb{F}_{p^m}$中的单位根。
• 使用特征和技巧与对称函数界来估计成功因式分解尝试的次数，特别是针对$N_p(r)$和$N_2(r)$。
• 利用高斯和与正交关系计算两次尝试的确定性界下的最大失败次数$M$。
• 通过字符的初等对称函数及对[16, 定理2C’]中字符和的界，推导出$N_p(r)$和$N_2(r)$的界。
• 通过计算非零$\beta$作为乘法群中两个陪集元素之和的最大表示次数，分析最坏情况下的尝试次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$\mathbb{F}_{2^m}$上，对一个次数为$t$的完全分裂多项式，保证其因式分解所需的最少尝试次数是多少？
• RQ2 如何简化Cantor-Zassenhaus算法以降低计算成本，同时保持正确性？
• RQ3 该算法的精确概率成功率是多少，其随$t$和$m$如何变化？
• RQ4 最大尝试次数$M$是多少，使得次数$t = 1 + M$的多项式仍可能在两次尝试内失败？
• RQ5 能否通过特征和估计与对称函数分析，推导出因式分解成功性的确定性界？

主要发现

• 在$\mathbb{F}_{2^m}$上，对一个次数为$t$的完全分裂多项式进行因式分解所需尝试次数的上界为$O(2^m / 3^t)$，优于先前的估计。
• 对于奇素数$p$，尝试次数的上界为$O(p^m / 2^t)$，该界通过特征和与对称函数分析推导得出。
• 确定性界$t_0(1) = \ell_m + 1$确保在$\mathbb{F}_{2^m}$上对任意次数大于$\ell_m = (2^m - 1)/3$的多项式，均能在一次尝试内成功。
• 对于两次尝试，最大失败次数$M$为：当$m/2$为偶数时，$M = \frac{1}{9}(2^m + 2^{m/2} - 2)$；当$m/2$为奇数时，$M = \frac{1}{9}(2^m + 2^{m/2+1} + 1)$，从而得到$t_0(2) = 1 + M$。
• 对于奇素数$p$，确定性界$t_0(2)$为：当$p \equiv 1 \pmod{4}$时，$t_0(2) = 1 + \frac{1}{4}(p^m - 1)$；当$p \equiv 3 \pmod{4}$且$m$为奇数时，$t_0(2) = 1 + \frac{1}{4}(p^m + 1)$。
• 分析证实，当$r \ll \frac{m}{2} \log_2 p$时，概率估计$N_p(r) \simeq p^m / 2^{r-1}$成立，验证了启发式成功概率。