[论文解读] Improvements to the number field sieve for non-prime finite fields

Razvan Barbulescu, Pierrick Gaudry+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文通过引入两种新的多项式选择方法——广义Joux-Lercier方法与共轭方法——改进了在中等至大特征非素数有限域中计算离散对数的数域筛法（NFS），实现了理论复杂度 $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{96/9})$，并在 $\p^2$ 中完成了实际记录性计算，其中 $p$ 为80位十进制数的素数。

ABSTRACT

We propose various strategies for improving the computation of discrete logarithms in non-prime fields of medium to large characteristic using the Number Field Sieve. This includes new methods for selecting the polynomials; the use of explicit automorphisms; explicit computations in the number fields; and prediction that some units have a zero virtual logarithm. On the theoretical side, we obtain a new complexity bound of $L_{p^n}(1/3,\sqrt[3]{96/9})$ in the medium characteristic case. On the practical side, we computed discrete logarithms in $F_{p^2}$ for a prime number $p$ with $80$ decimal digits.Warning: This unpublished version contains some inexact statements.

研究动机与目标

• 提升中等与大特征非素数有限域中离散对数计算的效率。
• 解决大特征非素数域中NFS变体缺乏实际实现的问题，尤其对双线性对密码学具有重要意义。
• 开发新型多项式选择策略，以减少需测试平滑性的范数，从而改善NFS的理论与实际复杂度。
• 在 $\p^2$ 中实现80位十进制素数 $p$ 的实际记录性计算，验证理论改进的有效性。
• 提供完整的CADO-NFS实现流程，包括关系收集、利用伽罗瓦作用的过滤，以及GPU加速的稀疏线性代数计算。

提出的方法

• 提出广义Joux-Lercier多项式选择方法，扩展先前工作以减小范数并提高平滑性概率。
• 引入共轭方法，利用显式自同构构造范数更小、且对Schirokauer映射需求更低的多项式。
• 在筛法阶段采用特殊-\mathfrak{q} 技术以优化关系收集，重点处理来自 $g$-侧的较大范数。
• 在过滤阶段应用伽罗瓦作用，通过选择 $x \mapsto x^{-1}$ 下的轨道代表元来减小矩阵规模，同时保留符号信息。
• 使用Jeljeli的GPU优化Block Wiedemann算法进行稀疏线性代数计算，通过精心选择多项式避免使用Schirokauer映射。
• 通过格筛法与特殊-q下降法完成个体离散对数计算，包括对小素数上方的二次理想进行处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 新型多项式选择技术是否能减小NFS在非素数有限域中的范数，从而提升平滑性概率？
• RQ2 在使用共轭法或广义Joux-Lercier方法时，中特征非素数域中NFS的理论复杂度为何？
• RQ3 理论复杂度的改进是否能在实际中实现，特别是在 $\p^2$ 等大特征域中？
• RQ4 显式自同构与伽罗瓦不变过滤的使用如何影响NFS的整体性能与矩阵规模？
• RQ5 在 $\mathbb{F}_{p^2}$ 中，使用优化后的NFS流程计算 $p$ 为80位十进制数的离散对数是否可行？

主要发现

• 共轭方法在中特征有限域中实现了理论复杂度 $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{96/9})$，优于先前的 $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{128/9})$ 与 $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{2^{13}/3^6})$。
• 在 $\p^2$ 中成功完成了一项实际的离散对数计算，其中 $p$ 为80位十进制素数，创下大特征非素数域的新纪录。
• 关系收集阶段生成了约1500万条关系，使用单个Intel Xeon E5-2650核心耗时约68核心天。
• 过滤阶段通过利用伽罗瓦对称性，将矩阵缩减至839,244行839,244列，平均每行含83.6个非零元素，显著减少冗余。
• 线性代数阶段在单张NVIDIA GTX 680 GPU上使用非分块Block Wiedemann实现，耗时30.3小时。
• 对随机元素 $s$ 的最终个体离散对数计算在几分钟内完成，采用格筛法与特殊-q下降法，结果为 $\log_G(s) = 431724646474717499532141432099069517832607980262114471597315861099398586114668 \mod \ell$。