[论文解读] Improving Approximation Guarantees for Maximin Share

Hannaneh Akrami, Jugal Garg+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2023

Parallel Computing and Optimization Techniques被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的 $(\alpha,\beta,\gamma)$-MMS 框架，该框架在不可分割物品的公平分配中同时推广了序数近似和乘法近似。它证明了 $1$-out-of-$\lceil 4n/3\rceil$ MMS 分配的存在性，优于先前最优的 $\lfloor 3n/2\rfloor$ 边界，并建立了随机分配方案，其事前近似因子超过 0.785，优于先前最优的 $\alpha = \frac{3}{4} + \frac{3}{3836}$。该方法通过细化的组合划分分析与价值重分配，实现了在可加估值下的更强保证。

ABSTRACT

We consider fair division of a set of indivisible goods among $n$ agents with additive valuations using the fairness notion of maximin share (MMS). MMS is the most popular share-based notion, in which an agent finds an allocation fair to her if she receives goods worth at least her ($1$-out-of-$n$) MMS value. An allocation is called MMS if all agents receive their MMS values. However, since MMS allocations do not always exist, the focus shifted to investigating its ordinal and multiplicative approximations. In the ordinal approximation, the goal is to show the existence of $1$-out-of-$d$ MMS allocations (for the smallest possible $d>n$). A series of works led to the state-of-the-art factor of $d=\lfloor3n/2 floor$ [Hosseini et al.'21]. We show that $1$-out-of-$4\lceil n/3 ceil$ MMS allocations always exist, thereby improving the state-of-the-art of ordinal approximation. In the multiplicative approximation, the goal is to show the existence of $α$-MMS allocations (for the largest possible $α< 1$), which guarantees each agent at least $α$ times her MMS value. We introduce a general framework of "approximate MMS with agent priority ranking". An allocation is said to be $T$-MMS, for a non-increasing sequence $T = (τ_1, \ldots, τ_n)$ of numbers, if the agent at rank $i$ in the order gets a bundle of value at least $τ_i$ times her MMS value. This framework captures both ordinal approximation and multiplicative approximation as special cases. We show the existence of $T$-MMS allocations where $τ_i \ge \max(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n}, \frac{2n}{2n+i-1})$ for all $i$. Furthermore, we can get allocations that are $(\frac{3}{4} + \frac{1}{12n})$-MMS ex-post and $(0.8253 + \frac{1}{36n})$-MMS ex-ante. We also prove that our algorithm does not give better than $(0.8631 + \frac{1}{2n})$-MMS ex-ante.

研究动机与目标

• 解决对于 $n \geq 3$ 个具有可加估值的代理，最大最小份额（MMS）分配并不总存在这一局限性。
• 改进 $1$-out-of-$d$ MMS 分配中事前最优的序数近似因子 $d$，该因子保证每个代理至少获得其 $d$-MMS 划分的价值。
• 增强 $\alpha$-MMS 分配中的乘法近似因子 $\alpha$，即每个代理获得至少其 MMS 价值的 $\alpha$ 倍。
• 通过一种新框架：$(\alpha,\beta,\gamma)$-MMS，统一并推广了两种近似范式，允许不同代理获得其 MMS 价值的不同分数。
• 设计一种随机分配算法，实现较高的事前近似因子，同时保证所有代理在事后至少获得 $3/4$ 的 MMS 价值。

提出的方法

• 引入广义公平性框架：$(\alpha,\beta,\gamma)$-MMS，其中 $\alpha$ 比例的代理获得至少 $\beta$ 倍其 MMS 价值，其余 $1-\alpha$ 比例的代理获得至少 $\gamma$ 倍其 MMS 价值。
• 通过迭代组合重分配与价值重分配构造平衡分配，证明对于任意 $\beta \in (0,1]$，$(2(1-\beta)/\beta, \beta, 3/4)$-MMS 分配总是存在。
• 使用 $d$-归一化与有序实例变换，将问题简化为一个规范形式，其中估值被缩放并排序，从而在小扰动下实现稳健分析。
• 对组合移除与划分重分配进行案例分析，证明在不同关于 MMS 划分的结构假设下，移除一组物品 $S$ 后，代理的 MMS 价值不会减少。
• 利用选择哪 $2(1-\beta)/\beta$ 比例的代理获得 $\beta$-MMS 价值的灵活性，设计出期望性能更优的随机分配。
• 通过一系列归一化与排序变换，建立 $1$-out-of-$d$ MMS 与 $\alpha$-MMS 之间的联系，证明在变换实例中任意 $1$-out-of-$d$ MMS 分配均可转化为原始实例中的有效分配。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $1$-out-of-$d$ MMS 分配中的序数近似因子 $d$ 改进至优于先前最优边界 $\lfloor 3n/2\rfloor$？
• RQ2 能否开发一种统一框架，同时捕捉 MMS 公平性中的序数与乘法近似？
• RQ3 通过一种随机分配方案，能否实现最高的事前近似因子，同时保证事后至少获得 $3/4$ 的 MMS 价值？
• RQ4 $1$-out-of-$\lceil 4n/3\rceil$ MMS 分配的存在性是否意味着强于以往已知的乘法近似保证？
• RQ5 能否利用 MMS 价值在小扰动下稳定性的分析，设计出鲁棒的近似算法？

主要发现

• 本文证明了 $1$-out-of-$\lceil 4n/3\rceil$ MMS 分配始终存在，优于先前最优边界 $\lfloor 3n/2\rfloor$。
• 证明了对于任意 $\beta \in (0,1]$，$(2(1-\beta)/\beta, \beta, 3/4)$-MMS 分配的存在性，从而统一并推广了序数与乘法近似。
• 通过选择 $\beta = \sqrt{3}/2$，该框架可产生一种随机分配，保证每个代理事后至少获得 $3/4$ 的 MMS 价值。
• 同一随机分配实现的事前近似因子为 $\frac{17\sqrt{3} - 24}{4\sqrt{3}} > 0.785$，优于先前最优的 $\alpha = \frac{3}{4} + \frac{3}{3836}$。
• 分析表明，在使用 $1$-out-of-$d$ MMS 框架时，代理的 MMS 价值在小扰动下是稳定的，而 $\alpha$-MMS 概念则对这类变化敏感。
• 本文证明了 $1$-out-of-$d$ MMS 框架具有鲁棒性，并可通过归一化与排序技术转化为原始实例中的有效分配。