[论文解读] Improving Fast Dual Ascent for MPC - Part II: The Embedded Case

Pontus Giselsson|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Advanced Control Systems Optimization参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文提出了一种用于嵌入式模型预测控制（MPC）的广义快速对偶梯度方法，通过使用非均匀二次上界逼近负对偶函数，并根据问题的方向性自适应调整曲率，从而提升收敛速度。关键贡献在于对可定义此类上界的矩阵集合进行了表征，使得在病态MPC问题（如AFTI-16飞机模型）上，收敛速度相比标准快速对偶上升法和ADMM方法显著加快，最高可达三个数量级。

ABSTRACT

Recently, several authors have suggested the use of first order methods, such as fast dual ascent and the alternating direction method of multipliers, for embedded model predictive control. The main reason is that they can be implemented using simple arithmetic operations only. However, a known limitation of gradient-based methods is that they are sensitive to ill-conditioning of the problem data. In this paper, we present a fast dual gradient method for which the sensitivity to ill-conditioning is greatly reduced. This is achieved by approximating the negative dual function with a quadratic upper bound with different curvature in different directions in the algorithm, as opposed to having the same curvature in all directions as in standard fast gradient methods. The main contribution of this paper is a characterization of the set of matrices that can be used to form such a quadratic upper bound to the negative dual function. We also describe how to choose a matrix from this set to get an improved approximation of the dual function, especially if it is ill-conditioned, compared to the approximation used in standard fast dual gradient methods. This can give a significantly improved performance as illustrated by a numerical evaluation on an ill-conditioned AFTI-16 aircraft model.

研究动机与目标

• 为解决标准快速对偶上升法在病态MPC问题中因二次逼近曲率均匀而导致的收敛性能差的问题。
• 开发一种方法，利用可变曲率的二次上界更精确地逼近嵌入式MPC中的负对偶函数。
• 表征可用于定义此类非均匀二次上界的矩阵集合，以改进对偶函数逼近。
• 实现基于问题特性的矩阵离线计算，以提升实时MPC中的在线性能。
• 在具有挑战性的病态飞机控制问题上，展示本方法在执行时间和收敛速度方面优于当前最先进求解器。

提出的方法

• 该方法通过在不同方向上采用不同曲率的二次上界来最小化负对偶函数，而非使用统一曲率，从而对标准快速对偶梯度方法进行推广。
• 引入基于矩阵的公式化方法，其中曲率矩阵从一组有效矩阵中选取，以确保上界全局有效。
• 曲率矩阵通过问题数据（如Hessian矩阵和约束矩阵）离线计算，以反映问题的病态性。
• 算法采用改进的对偶上升方案，结合线搜索或回溯法以确保收敛，且更新步骤针对问题结构进行定制。
• 提出两种变体：一种用于等式约束MPC，使用矩阵 $\mathbf{L}_\lambda = A H^{-1} A^T$；另一种用于软约束问题，使用 $\mathbf{L}_\mu$。
• 该方法通过代码生成在C语言中实现，支持高效嵌入式部署，且在线计算量极低。

实验结果

研究问题

• RQ1 在MPC的快速对偶梯度方法中，是否可通过具有方向性变化曲率的非均匀二次上界来改善收敛性能？
• RQ2 可用于定义负对偶函数有效二次上界的矩阵集合的数学表征是什么？
• RQ3 如何离线计算与问题相关的曲率矩阵，以提升嵌入式MPC中的在线性能？
• RQ4 在病态MPC问题上，该方法是否在收敛速度和执行时间方面优于标准快速对偶上升法和ADMM？
• RQ5 该方法是否可推广以同时处理MPC公式中的硬约束和软约束？

主要发现

• 使用 $\mathbf{L}_\lambda = A H^{-1} A^T$ 的所提方法在Richter等人（2013）的实验中，执行时间相比标准快速对偶上升法减少了三个多数量级。
• 使用 $P = H^{-1}$ 的 $\mathbf{L}_\mu$ 方法（见第6节）平均执行时间为0.061 ms，相比Patrinos与Bemporad（2014）的方法快一到两个数量级。
• 所提算法的C语言编译版本比其MATLAB实现快20倍以上，平均执行时间低于0.1 ms。
• 所提方法在收敛速度上优于ADMM（最优 $\rho = 3$），且在 $\rho$ 选择次优时，比ADMM快达两个数量级。
• 该方法在性能上优于通用商业QP求解器MOSEK一个数量级以上，且比专用的FORCES代码生成器快两到三倍。
• 在AFTI-16飞机模型上的数值评估证实，改进的对偶逼近显著提升了病态MPC问题的性能。