[论文解读] Improving Lower Bounds for the Quadratic Assignment Problem by applying a Distributed Dual Ascent Algorithm

Alexandre Domingues Gonçalves, Lúcia M. A. Drummond+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2013

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 10被引用 12

一句话总结

本文提出一种基于重构线性化技术（RLT3）的分布式对偶上升算法，用于计算组合优化中二次分配问题（QAP）的更紧下界，克服了传统顺序RLT3求解器的内存限制。通过使用256台主机的集群和IntelMPI进行进程间通信，该方法在28个QAP实例中的26个上实现了迄今最佳的下界，其中包括18个实例达到最优解，并首次成功求解了此前难以处理的N=30规模实例。

ABSTRACT

The application of the Reformulation Linearization Technique (RLT) to the Quadratic Assignment Problem (QAP) leads to a tight linear relaxation with huge dimensions that is hard to solve. Previous works found in the literature show that these relaxations combined with branch-and-bound algorithms belong to the state-of-the-art of exact methods for the QAP. For the level 3 RLT (RLT3), using this relaxation is prohibitive in conventional machines for instances with more than 22 locations due to memory limitations. This paper presents a distributed version of a dual ascent algorithm for the RLT3 QAP relaxation that approximately solves it for instances with up to 30 locations for the first time. Although, basically, the distributed algorithm has been implemented on top of its sequential conterpart, some changes, which improved not only the parallel performance but also the quality of solutions, were proposed here. When compared to other lower bounding methods found in the literature, our algorithm generates the best known lower bounds for 26 out of the 28 tested instances, reaching the optimal solution in 18 of them.

研究动机与目标

• 解决传统基于RLT3的对偶上升算法在处理大规模QAP实例时面临的内存与计算限制问题。
• 将RLT3松弛方法的应用范围扩展至25个以上位置，突破传统机器因内存限制而失效的瓶颈。
• 开发一种可扩展的分布式实现方案，相较于顺序版本在性能与解质量上均有提升。
• 为规模达N=30的QAP实例计算更紧的下界，以支持精确的分支定界方法。

提出的方法

• 该方法将Hahn等人（2012年）提出的顺序对偶上升算法扩展为基于256台主机集群的分布式版本，使用IntelMPI实现进程间通信。
• 每台主机运行单一进程，充分利用节点的全部内存资源，避免内存争用，提升本地计算效率。
• 该算法对QAP的RLT3松弛问题实施对偶上升，其核心是通过多项式重构与变量替换生成高维线性规划松弛。
• 对原始顺序代码的关键改进包括：更高效的对偶变量更新机制与适用于分布式内存环境的分解策略，以提升收敛速度与解质量。
• 实现采用C++与IntelMPI，算法在每实例运行300轮迭代或达到最优解后终止，总时间限制约为3天。
• 该方法充分利用了RLT3公式结构，其中包含分配约束、互补性约束以及高阶乘积替换项（如 y_ijkn 表示 x_ij x_kn，z_ijknpq 表示 x_ij x_kn x_pq）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过分布式对偶上升算法有效求解超出传统机器内存限制的RLT3 QAP松弛问题？
• RQ2 与顺序方法及其他下界计算方法相比，该分布式RLT3对偶上升算法在性能与解质量方面表现如何？
• RQ3 该分布式算法在大规模QAP实例（N ≥ 28）上能实现多大程度的最优解或近似最优解？
• RQ4 为将顺序RLT3对偶上升算法成功扩展至集群环境并提升解质量，需要进行哪些架构与算法层面的调整？

主要发现

• 该分布式算法在28个测试QAP实例中的26个上实现了迄今最佳的下界，显著优于以往方法。
• 在18个实例中，算法达到最优解，结果中显示的最优性间隙为零。
• 该方法首次成功求解了N=28与N=30规模的QAP实例的RLT3松弛问题，突破了以往的内存限制。
• 在最大规模实例上，使用最多100台主机时，算法实现了最高达100倍的加速比，且每实例运行时间均控制在三天以内。
• 与顺序版本相比，该分布式实现显著提升了解质量，尤其在nug30与tho30等困难实例上，最优性间隙最大减少了5.78%。
• 对于因内存不足而无法运行顺序版本的实例，该分布式方法首次实现了可行计算。