[论文解读] Impulse Control in Finance: Numerical Methods and Viscosity Solutions

Parsiad Azimzadeh|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 83被引用 6

一句话总结

本文针对金融领域脉冲控制问题中出现的哈密顿-雅可比-贝尔曼拟变分不等式（HJBQVI）开发了可证明收敛的数值方法，采用策略迭代法结合弱链式对角占优（w.c.d.d.）矩阵，并将Barles-Souganidis收敛理论扩展至非局部PDE。关键贡献在于为单调、稳定且一致的格式应用于非局部HJBQVI建立了收敛框架，通过在最优汇率控制、含交易成本的消费问题以及可变年金中保证最低提款收益等应用中得到验证。

ABSTRACT

The goal of this thesis is to provide efficient and provably convergent numerical methods for solving partial differential equations (PDEs) coming from impulse control problems motivated by finance. Impulses, which are controlled jumps in a stochastic process, are used to model realistic features in financial problems which cannot be captured by ordinary stochastic controls. The dynamic programming equations associated with impulse control problems are Hamilton-Jacobi-Bellman quasi-variational inequalities (HJBQVIs) Other than in certain special cases, the numerical schemes that come from the discretization of HJBQVIs take the form of complicated nonlinear matrix equations also known as Bellman problems. We prove that a policy iteration algorithm can be used to compute their solutions. In order to do so, we employ the theory of weakly chained diagonally dominant (w.c.d.d.) matrices. As a byproduct of our analysis, we obtain some new results regarding a particular family of Markov decision processes which can be thought of as impulse control problems on a discrete state space and the relationship between w.c.d.d. matrices and M-matrices. Since HJBQVIs are nonlocal PDEs, we are unable to directly use the seminal result of Barles and Souganidis (concerning the convergence of monotone, stable, and consistent numerical schemes to the viscosity solution) to prove the convergence of our schemes. We address this issue by extending the work of Barles and Souganidis to nonlocal PDEs in a manner general enough to apply to HJBQVIs. We apply our schemes to compute the solutions of various classical problems from finance concerning optimal control of the exchange rate, optimal consumption with fixed and proportional transaction costs, and guaranteed minimum withdrawal benefits in variable annuities.

研究动机与目标

• 为金融领域脉冲控制问题中出现的哈密顿-雅可比-贝尔曼拟变分不等式（HJBQVI）开发高效且可证明收敛的数值方法。
• 建立单调、稳定且一致的数值格式在非局部PDE上的收敛性，将Barles-Souganidis框架扩展至HJBQVI。
• 将所提出的格式应用于涉及固定与比例交易成本的经典金融问题，包括最优汇率控制以及可变年金中保证最低提款收益的问题。
• 通过弱链式对角占优（w.c.d.d.）矩阵和M-矩阵分析HJBQVI离散化后产生的贝尔曼问题的结构。
• 通过矩阵理论与粘性解概念，证明HJBQVI格式下策略迭代的收敛性。

提出的方法

• 采用策略迭代求解由HJBQVI离散化导出的非线性矩阵方程（贝尔曼问题），利用弱链式对角占优（w.c.d.d.）矩阵理论保证收敛性。
• 提出两种数值格式：直接控制格式与罚函数格式，二者均设计为保持HJBQVI离散化的单调性与稳定性。
• 通过引入非局部一致性与稳定性条件，将Barles-Souganidis收敛定理扩展至非局部二阶PDE。
• 在均匀网格上使用有限差分法，采用标准五点模板，并引入干预算子以建模脉冲控制。
• 通过仔细分析格式性质，实现对有限时域与无限时域（稳态）情形的收敛性证明。
• 将理论应用于离散状态空间上的马尔可夫决策过程，建立w.c.d.d.矩阵与M-矩阵之间的联系，并讨论解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否严格证明策略迭代在HJBQVI离散化所生成的非线性矩阵方程上收敛？
• RQ2 如何将Barles与Souganidis的收敛理论扩展至处理HJBQVI等非局部PDE？
• RQ3 何种条件可确保非局部HJBQVI数值格式的单调性、稳定性与一致性？
• RQ4 w.c.d.d.矩阵与M-矩阵如何与离散状态空间上脉冲控制问题中贝尔曼问题的结构相关联？
• RQ5 所提出数值格式的收敛速率如何？其在基准金融问题上的表现如何？

主要发现

• 通过弱链式对角占优矩阵理论，证明策略迭代对HJBQVI离散化生成的贝尔曼问题具有全局收敛性。
• 本文建立了一套新的非局部PDE收敛框架，通过扩展Barles-Souganidis理论，证明单调、稳定且非局部一致的格式收敛至粘性解。
• 直接控制格式与罚函数格式均被证明具有单调性、稳定性和非局部一致性，从而确保收敛至HJBQVI的粘性解。
• 数值实验中观察到超线性收敛速率，罚函数格式在各类测试案例中表现出稳健性能。
• 该方法成功计算了汇率最优控制、含固定与比例交易成本的消费问题，以及可变年金中保证最低提款收益的解。
• 首次建立了w.c.d.d.矩阵与M-矩阵之间的新联系，对马尔可夫决策过程建模脉冲控制问题的唯一性与可解性具有重要意义。