[论文解读] In which spaces is every curve Lebesgue-Pettis integrable?

Heinrich von Weizsäcker|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明，一个实局部凸Hausdorff空间 E 满足：每个从 [0,1] 到 E 的连续曲线都是 Lebesgue-Pettis 可积的，当且仅当 E 满足度量凸紧致性性质——即每个紧致可度量化的子集的闭凸包是紧致的。该等价关系将连续曲线的 Pettis 可积性与一种拓扑完备性条件联系起来，通过 Lusin-可测函数和规范泛函，将 Bochner 积分框架扩展至 Banach 空间之外的 E-值函数。

ABSTRACT

In a real locally convex Hausdorff space the closed convex hull of every metrizable compact set is compact if (and only if) every continuous curve has a Pettis integral with respect to Lebesgue measure. For such spaces there is a natural concept of Bochner integrals.

研究动机与目标

• 确定哪些局部凸 Hausdorff 空间确保每个连续曲线都是 Lebesgue-Pettis 可积的。
• 阐明局部凸空间中连续曲线的 Pettis 可积性与拓扑完备性性质之间的关系。
• 通过 Lusin-可测函数和规范泛函，将 Bochner 积分框架扩展至 Banach 空间之外的 E-值函数。
• 证明度量凸紧致性性质与单位区间上具有 Lebesgue 测度的所有连续曲线的 Pettis 可积性等价。

提出的方法

• 证明若 E 具有度量凸紧致性性质，则任意连续曲线 f:[0,1]→E 的像为紧致且可度量化的，其闭凸包也是紧致的，从而保证 barycenter 的存在，因此具有 Pettis 可积性。
• 利用 Pettis 可积性与在连续 f 下的推前测度 μ=λ∘f⁻¹ 存在 barycenter 之间的等价性。
• 应用 Pfister (1981) 的结果，表明度量凸紧致性蕴含所有具有 Borel 测度的紧致可度量化空间上的 E-值连续函数的 Pettis 可积性。
• 通过证明 E 上具有紧致可度量化支撑的任意概率测度均可表示为 [0,1] 上连续映射下 Lebesgue 测度的推前测度，将一般情形约化至单位区间。
• 通过证明在度量凸紧致性条件下，具有有限规范泛函积分的 Lusin-可测函数是 Pettis 可积的，将结果扩展至 Lusin-可测函数。
• 使用正则化技术，将测度的离散部分替换为在缩放紧致集上支撑的非原子部分，同时保持 barycenter 不变，并利用度量凸紧致性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些局部凸 Hausdorff 空间 E 满足：每个连续曲线 f:[0,1]→E 都是 Lebesgue-Pettis 可积的？
• RQ2 度量凸紧致性性质（即每个紧致可度量化子集的闭凸包是紧致的）是否与 [0,1] 上所有连续曲线的 Pettis 可积性等价？
• RQ3 能否通过 Lusin-可测性与规范泛函，自然地将 Bochner 积分扩展至 Banach 空间之外的 E-值函数？
• RQ4 若在有界闭绝对凸集 D⊂E 上，每个有限、度量正则测度的 barycenter 存在，是否意味着 E 具有度量凸紧致性性质？

主要发现

• 一个实局部凸 Hausdorff 空间 E 满足：每个连续曲线 f:[0,1]→E 都是 Lebesgue-Pettis 可积的，当且仅当 E 满足度量凸紧致性性质。
• 度量凸紧致性性质与在具有 Borel 测度的紧致可度量化空间上所有 E-值连续函数的 Pettis 可积性等价。
• 在有界闭绝对凸集 D⊂E 上，任意有限、度量正则测度的 barycenter 属于 E，当且仅当 E 满足度量凸紧致性性质。
• 当 E 满足度量凸紧致性性质时，Lusin-可测函数 g:X→E 且满足 ∫φ_D∘g dν<∞ 的 Pettis 积分是良定义的，且其值属于 E。
• 对于具有紧致可度量化支撑的一般概率测度 μ，通过用区间上的均匀分布替换点质量的方式进行正则化，其 barycenter 保持不变，从而保证其在 E 中的存在性。
• 在度量凸紧致性条件下，Pettis 积分将 Bochner 积分扩展至具有可分本质值域和有限规范积分的 E-值 Lusin-可测函数。