[论文解读] Inapproximability Results for Approximate Nash Equilibria

Argyrios Deligkas, John Fearnley+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2016

Game Theory and Applications参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文在指数时间假设（ETH）下，为在双矩阵博弈中计算具有约束社会福利的近似纳什均衡建立了条件准多项式时间下界。证明了求解 (1/8 − O(δ))-NE O(δ)-SW 问题需要 n~Ω(log n) 时间，将困难性结果扩展至多个涉及收益最大化、支持集约束和 ε-NE 的近似福利的决策问题，其中 ε < 1/8。

ABSTRACT

We study the problem of finding approximate Nash equilibria that satisfy certain conditions, such as providing good social welfare. In particular, we study the problem $ε$-NE $δ$-SW: find an $ε$-approximate Nash equilibrium ($ε$-NE) that is within $δ$ of the best social welfare achievable by an $ε$-NE. Our main result is that, if the exponential-time hypothesis (ETH) is true, then solving $\left(\frac{1}{8} - \mathrm{O}(δ) ight)$-NE $\mathrm{O}(δ)$-SW for an $n imes n$ bimatrix game requires $n^{\mathrm{\widetilde Ω}(\log n)}$ time. Building on this result, we show similar conditional running time lower bounds on a number of decision problems for approximate Nash equilibria that do not involve social welfare, including maximizing or minimizing a certain player's payoff, or finding approximate equilibria contained in a given pair of supports. We show quasi-polynomial lower bounds for these problems assuming that ETH holds, where these lower bounds apply to $ε$-Nash equilibria for all $ε&lt; \frac{1}{8}$. The hardness of these other decision problems has so far only been studied in the context of exact equilibria.

研究动机与目标

• 研究寻找满足特定约束（如高社会福利）的近似纳什均衡的计算困难性。
• 将精确均衡的不可近似性结果扩展至近似均衡，特别是针对社会福利偏差受控的 ε-NE。
• 在指数时间假设（ETH）下，为涉及近似均衡的决策问题建立条件时间下界。
• 表明即使具有理想性质的近似均衡，其计算在计算上也极为困难，超越了精确均衡已知的 PPAD-完全性。
• 通过将它们与 ETH 和隐藏团问题联系起来，统一并加强了先前的不可近似性结果。

提出的方法

• 将寻找在 δ 范围内接近最优社会福利的 (1/8 − O(δ))-NE 问题归约为随机图中的隐藏团问题。
• 构建一个双矩阵博弈 G''，其中行玩家支持集中特定策略的存在性取决于超图 F 中最大独立集的大小。
• 利用指数时间假设（ETH）论证，在 G(n,1/2) 中求解隐藏团问题需要 n~Ω(log n) 时间。
• 证明：若 ω(F) = 1（最大独立集大小为完整），则 G'' 允许一个包含目标策略的 ε*-WSNE；否则不允许。
• 应用 Lipton-Markakis-Mehta（LMM）算法框架分析 ε-NE 和 ε-WSNE 中的支持集大小与收益边界。
• 采用从隐藏团问题到 ε-NE δ-SW 的归约，表明在 ETH 下求解 ε-NE δ-SW 需要准多项式时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为具有受控社会福利偏差的近似纳什均衡计算建立条件时间下界？
• RQ2 在 ETH 下，对于 ε < 1/8，求解在最佳可实现社会福利 δ 范围内的 ε-NE 问题是否困难？
• RQ3 涉及近似均衡中收益最大化或支持集约束的决策问题是否也表现出准多项式时间困难性？
• RQ4 在 ETH 下，寻找受限近似均衡的困难性是否可与隐藏团问题关联？
• RQ5 在计算复杂性方面，近似均衡的困难性与精确均衡相比如何？

主要发现

• 在指数时间假设（ETH）下，求解 n×n 双矩阵博弈中的 (1/8 − O(δ))-NE O(δ)-SW 问题需要 n~Ω(log n) 时间。
• 该困难性结果扩展至诸如在 ε-NE 中最大化或最小化某玩家收益，或在给定支持对中寻找 ε-NE 等决策问题。
• 对于所有 ε < 1/8，这些决策问题在 ETH 下需要准多项式时间，从而建立了条件时间下界。
• 归约表明，求解 ε-NE δ-SW 的困难性至少与在 G(n,1/2) 中寻找大小为 O(log n) 的隐藏团问题相当，而该问题被认为需要准多项式时间。
• 该结果通过将不可近似性结果与 ETH 关联，并表明即使具有良好福利的近似均衡也难以计算，从而加强了先前的不可近似性结果。
• 本文证明，LMM 算法在 ETH 下对 ε-NE 的准多项式时间复杂度本质上是最优的，因为除非 ETH 失效，否则不存在更快的算法。