[论文解读] Incidence Bounds for Block Designs

Ben Lund, Shubhangi Saraf|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2014

graph theory and CDMA systems参考文献 18被引用 7

一句话总结

本论文为平衡不完全区组设计（BIBDs）建立了新的极值关联界，将有限几何中点与平面之间关联结果推广至组合设置。利用谱图论，证明了BIBD中大点集或区组集确定大量t-丰富区组或点，从而得到有限平面中不同三角形面积的紧致界——优于Iosevich、Rudnev和Zhai的先前工作。

ABSTRACT

We prove three theorems giving extremal bounds on the incidence structures determined by subsets of the points and blocks of a balanced incomplete block design (BIBD). These results generalize and strengthen known bounds on the number of incidences between points and $m$-flats in affine geometries over finite fields. First, we show an upper bound on the number of incidences between sufficiently large subsets of the points and blocks of a BIBD. Second, we show that a sufficiently large subset of the points of a BIBD determines many t-rich blocks. Third, we show that a sufficiently large subset of the blocks of a BIBD determines many t-rich points. These last two results are new even in the special case of incidences between points and $m$-flats in an affine geometry over a finite field. As a corollary we obtain a tight bound on the number of t-rich points determined by a set of points in a plane over a finite field, and use it to sharpen a result of Iosevich, Rudnev, and Zhai on the number of triangles with distinct areas determined by a set of points in a plane over a finite field.

研究动机与目标

• 将有限几何中的关联界推广至BIBD的组合设置。
• 建立大点集在BIBD中确定的t-丰富区组数量的极值界。
• 建立大区组集在BIBD中确定的t-丰富点数量的界。
• 将这些关联结果应用于改进有限平面中不同三角形面积数量的已知界。
• 证明新界是紧致的，并推广有限域上仿射几何中的已知结果。

提出的方法

• 应用谱图论分析BIBD中的关联结构，利用关联矩阵的特征值界。
• 使用双重计数和柯西-施瓦茨不等式，将关联数与t-丰富区组或点数联系起来。
• 定义并分析函数 $ a_{ ho,t} $，以量化大点集中t-丰富区组的最小数量。
• 通过BIBD对偶性引入t-丰富点的对偶概念，利用对称性。
• 将几何三角形面积问题转化为 $ \mathbb{F}_q^2 $ 上的点积问题，利用正交变换。
• 应用定理15（点积集的谱界）推导出不同三角形面积数量的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在BIBD中，大点集与区组集之间的最大关联数是多少？
• RQ2 在BIBD中，一个足够大的点集必须确定多少个t-丰富区组？
• RQ3 在BIBD中，一个足够大的区组集必须确定多少个t-丰富点？
• RQ4 BIBD中的关联界能否用于改进有限平面中不同三角形面积的已知结果？
• RQ5 在 $ \mathbb{F}_q^2 $ 中，点集所张成的不同三角形面积数量的最紧下界是什么？

主要发现

• 在BIBD中，大点集至少确定 $ a_{ ho,t} q^2 $ 个t-丰富区组，其中 $ a_{ ho,t} = \frac{\rho^2(t-1)}{\rho^2(t-1) + 1 + \rho} $，$ \rho $ 控制点集的大小。
• 对任意 $ \epsilon > 0 $，在 $ \mathbb{F}_q^2 $ 中大小为 $ (1+\epsilon)(t-1)q $ 的点集至少确定 $ c_{\epsilon} q $ 个不同的三角形面积，且当 $ \epsilon \to \infty $ 时 $ c_{\epsilon} \to 1 $。
• 存在一个点，其关联的t-丰富直线至少有 $ c'_{\epsilon} q $ 条，其中 $ c'_{\epsilon} = \frac{2\epsilon^2}{(1+\epsilon)(\epsilon^2 + \epsilon + 1)} $，当 $ \epsilon \leq 1 $ 时成立。
• 以公共顶点张成的三角形所确定的不同面积至少为 $ \left( \frac{(t-1)c'^2_{\delta}}{(t-1)c'^2_{\delta} + 1} \right) q $，其中 $ \delta = \frac{1+\epsilon}{t-1} - 1 $。
• 对不同三角形面积的界是紧致的，且优于Iosevich、Rudnev和Zhai的结果，提供了更强的定量下界。
• 结果推广并加强了有限几何中的已知关联界，即使在有限域上 $ \mathbb{F}_q^n $ 中点与平面的特殊情形下亦成立。