[论文解读] Incidences between points and non-coplanar circles

Micha Sharir, Adam Sheffer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 2

一句话总结

该论文改进了三维空间中 m 个点与 n 个非共面圆之间的关联数上界，通过多项式分割和几何工具，在任意球面或平面不包含超过 q 个圆的条件下，实现了 O*(m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11} + m + n) 的结果。该结果进一步应用于限制 R³ 中 m 个点构成的相互相似三角形的数量，得到 O(m^{15/7}) 的新上界。

ABSTRACT

We establish an improved upper bound for the number of incidences between m points and n circles in three dimensions. The previous best known bound, originally established for the planar case and later extended to any dimension $\ge 2$, is $O*(m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11}+m+n)$, where the $O*(\cdot)$ notation hides sub-polynomial factors. Since all the points and circles may lie on a common plane (or sphere), it is impossible to improve the bound in R^3 without first improving it in the plane. Nevertheless, we show that if the set of circles is required to be truly three-dimensional in the sense that no sphere or plane contains more than $q$ of the circles, for some $q 0$. (iii) We use our results to obtain the improved bound $O(m^{15/7})$ for the number of mutually similar triangles determined by any set of $m$ points in R^3. Our result is obtained by applying the polynomial partitioning technique of Guth and Katz using a constant-degree partitioning polynomial (as was also recently used by Solymosi and Tao). We also rely on various additional tools from analytic, algebraic, and combinatorial geometry.

研究动机与目标

• 建立三维空间中 m 个点与 n 个圆之间关联数的更紧致上界。
• 解决真正三维构型下的挑战，即任意球面或平面不包含过多圆的情况。
• 在圆分布满足非退化条件的前提下，将关联数界从平面情形推广至三维空间。
• 将改进后的关联数界应用于推导 R³ 中 m 个点构成的相互相似三角形数量的新上界。
• 利用多项式分割与几何工具，实现对关联几何与离散几何中先前界限的改进。

提出的方法

• 采用 Guth 和 Katz 提出的多项式分割技术，使用常数次分割多项式将空间划分为若干胞腔。
• 利用任意球面或平面不包含超过 q 个圆的性质，控制每个胞腔内的关联数。
• 应用组合与代数几何工具，对分割曲面上及胞腔内的关联数进行上界估计。
• 利用所得关联数界分析构成相互相似三角形的点构型。
• 采用解析几何技术处理 R³ 中圆与点集的几何约束。
• 通过 O*(·) 符号处理次多项式因子，以保持紧致的渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当圆不被限制于同一平面或球面时，R³ 中点与圆之间的关联数界能否得到改进？
• RQ2 在三维空间中，m 个点最多能构成多少个相互相似的三角形？
• RQ3 圆的分布——特别是其被包含于少数平面或球面中的情况——如何影响关联数界？
• RQ4 多项式分割在高维几何设定中，能在多大程度上用于精炼关联数界？
• RQ5 三维空间中改进的关联数界能否带来相关离散几何问题（如三角形计数）的更好界限？

主要发现

• 论文在任意球面或平面不包含超过 q 个圆的条件下，建立了 R³ 中点与圆之间关联数的改进上界 O*(m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11} + m + n)。
• 该界在次多项式因子意义下是紧致的，并在应用于三维构型时优于经典平面情形的界。
• 该方法通过结合多项式分割与圆分布的几何约束实现该改进。
• 改进的关联数界导致 R³ 中任意 m 个点构成的相互相似三角形数量的新上界为 O(m^{15/7})。
• 结果表明，非共面圆构型即使在平面界仍为极限因素的情况下，也能实现强于平面情形的关联数界。
• 分析证实，当多项式分割方法与几何约束结合时，可在关联几何中实现显著改进。