[论文解读] Inclusion graph of subgroups of a group

P. Devi, R. Rajkumar|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了有限群子群的包含图，其中顶点为真子群，边连接当一个子群包含于另一个子群时。该文对包含图为完全图、二分图、树、星图、路径、环、无爪图或不连通图的有限群进行了分类，并给出了有限阿贝尔群包含图平面性的条件。一个关键结果是，任何非单连通群的包含图均包含爪形图（$K_{1,3}$），且围长为3。

ABSTRACT

For a finite group $G$, we define the inclusion graph of subgroups of $G$, denoted by $\mathcal I(G)$, is a graph having all the proper subgroups of $G$ as its vertices and two distinct vertices $H$ and $K$ in $\mathcal I(G)$ are adjacent if and only if either $H \subset K$ or $K \subset H$. In this paper, we classify the finite groups whose inclusion graph of subgroups is one of complete, bipartite, tree, star, path, cycle, disconnected, claw-free. Also we classify the finite abelian groups whose inclusion graph of subgroups is planar. For any given finite group, we estimate the clique number, chromatic number, girth of its inclusion graph of subgroups and for a finite abelian group, we estimate the diameter of its inclusion graph of subgroups. Among the other results, we show that some groups can be determined by their inclusion graph of subgroups

研究动机与目标

• 定义并分析有限群子群的包含图，其中边表示子群之间的真包含关系。
• 对包含图为完全图、二分图、树、星图、路径、环、不连通或无爪图的有限群进行分类。
• 确定哪些有限阿贝尔群的包含图是平面图。
• 估计包含图的图不变量，如团数、色数、围长和直径。
• 研究一个群是否能被其包含图唯一确定。

提出的方法

• 定义包含图 $\mathcal{I}(G)$，其顶点为有限群 $G$ 的所有真子群，若 $H \subset K$ 或 $K \subset H$，则在子群 $H$ 与 $K$ 之间连边。
• 使用群论工具，如西罗定理、子群格结构，以及有限单群和极小单群的分类。
• 应用图论概念，包括团数 $\omega(G)$、色数 $\chi(G)$、围长 $girth(G)$、直径 $diam(G)$ 和平面性，以分析 $\mathcal{I}(G)$。
• 利用同构不变性：若 $G_1 \cong G_2$，则 $\mathcal{I}(G_1) \cong \mathcal{I}(G_2)$，但其逆命题不成立。
• 利用子群链和包含格结构，识别子图如 $K_{1,3}$（爪形图）和 $K_2 + \overline{K_3}$，以推断围长和结构性质。
• 利用汤普森对极小单群的分类，通过子商继承性，将非单连通群的结果推广至一般非单连通群。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限群的包含图是完全图、二分图、树、星图、路径、环或不连通图？
• RQ2 对于哪些有限阿贝尔群，其包含图是平面图？
• RQ3 对于一般有限群 $G$，$\mathcal{I}(G)$ 的团数、色数和围长分别为多少？
• RQ4 有限阿贝尔群的包含图的直径是多少？
• RQ5 一个有限群能否被其包含图唯一确定？

主要发现

• 当且仅当 $G$ 是素数幂阶 $p^n$ 的循环群且 $n \leq 2$ 时，包含图 $\mathcal{I}(G)$ 为完全图。
• 当且仅当 $G$ 是极大类 $p$-群或奇素数 $p$ 的二面体群（阶为 $2p$）时，包含图为二分图。
• 当且仅当 $G$ 是素数幂阶 $p^n$ 的循环群且 $n \leq 2$ 时，包含图为树。
• 当且仅当 $G$ 是某个素数 $p$ 的 $p^2$ 阶循环群时，包含图为星图。
• 当且仅当 $G$ 是某个素数 $p$ 的 $p^3$ 阶循环群时，包含图为路径。
• 任何非单连通有限群的包含图均包含爪形图（$K_{1,3}$），且围长为3，该结论通过极小单群和子群包含链得到证明。