[论文解读] Inclusion of spectrahedra, dilations, the matrix cube problem and coin tossing

J. William Helton, Igor Klep+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Matrix Theory and Algorithms被引用 1

一句话总结

本文建立了精确的扩张结果：任何有界自由谱半定域内 d×d 对称矩阵的 d 元组，均可通过缩放因子 𝜗(d) 扩张为具有对应谱半定域中联合谱的可交换自伴算子。𝜗(d) 的解析表达式为二项分布和贝塔分布提供了新的概率见解，并量化了线性矩阵不等式（LMI）自由松弛中的最坏情况误差。

ABSTRACT

An operator C on a Hilbert space H dilates to an operator T on a Hilbert space K if there is an isometry V from H to K such that C=V^*TV. A main result of this paper is, for a positive integer d, the simultaneous dilation, up to a sharp factor $\vartheta(d)$, of all d-by-d symmetric matrices of operator norm at most one to a collection of commuting self-adjoint contraction operators on a Hilbert space. An analytic formula for $\vartheta(d)$ is derived, which as a by-product gives new probabilistic results for the binomial and beta distributions. Dilating to commuting operators has consequences for the theory of linear matrix inequalities (LMIs). Given a tuple A=(A_1,...,A_g) of symmetric matrices of the same size, L(x):=I-\sum A_j x_j is a monic linear pencil. The solution set S_L of the corresponding linear matrix inequality, consisting of those x in R^g for which L(x) is positive semidefinite (PsD), is a spectrahedron. The set D_L of tuples X=(X_1,...,X_g) of symmetric matrices (of the same size) for which L(X):=I-\sum A_j \otimes X_j is PsD, is a free spectrahedron. A result here is: any tuple X of d-by-d symmetric matrices in a bounded free spectrahedron D_L dilates, up to a scale factor, to a tuple T of commuting self-adjoint operators with joint spectrum in the corresponding spectrahedron S_L. From another viewpoint, the scale factor measures the extent that a positive map can fail to be completely positive. Given another monic linear pencil M, the inclusion D_L \subset D_M obviously implies the inclusion S_L \subset S_M and thus can be thought of as its free relaxation. Determining if one free spectrahedron contains another can be done by solving an explicit LMI and is thus computationally tractable. The scale factor for commutative dilation of D_L gives a precise measure of the worst case error inherent in the free relaxation, over all monic linear pencils M of size d.

研究动机与目标

• 在有界自由谱半定域内建立 d×d 对称矩阵的统一扩张结果。
• 推导出精确扩张因子 𝜗(d) 的显式解析公式，连接算子理论与特殊函数。
• 通过缩放因子 𝜗(d) 量化线性矩阵不等式（LMI）自由松弛中的最坏情况误差。
• 通过推导出的公式将扩张问题与二项分布和贝塔分布的概率性质联系起来。

提出的方法

• 使用算子扩张理论，将 d×d 对称矩阵嵌入更大希尔伯特空间上的可交换自伴算子。
• 利用谱理论与泛函分析技术，推导出精确扩张因子 𝜗(d) 的解析表达式。
• 将扩张结果应用于自由谱半定域，证明任意属于 D_L 的 d 元组均可扩张为联合谱位于 S_L 中的可交换 d 元组，缩放因子为 𝜗(d)。
• 利用完全正性与正映射之间的联系，将缩放因子解释为完全正性失败程度的度量。
• 使用首一线性铅笔 L(x) = I - ∑A_j x_j 及其自由类比 L(X) = I - ∑A_j ⊗ X_j 来定义谱半定域与自由谱半定域。
• 利用 LMI 可计算性，确定自由谱半定域 D_L ⊂ D_M 的包含关系，将其与缩放因子 𝜗(d) 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 允许所有范数 ≤1 的 d×d 对称矩阵同时扩张为可交换自伴算子的精确扩张因子 𝜗(d) 是什么？
• RQ2 推导出的 𝜗(d) 公式如何为二项分布和贝塔分布带来新结果？
• RQ3 线性矩阵不等式的自由松弛在在多大程度上会破坏包含关系？这一失败程度如何由缩放因子捕捉？
• RQ4 自由谱半定域 D_L ⊂ D_M 的包含关系能否通过与扩张因子相关的可计算条件来刻画？
• RQ5 缩放因子 𝜗(d) 如何度量通过其自由松弛近似谱半定域时的最坏情况误差？

主要发现

• 本文推导出精确扩张因子 𝜗(d) 的显式解析公式，量化了将所有范数 ≤1 的 d×d 对称矩阵扩张为可交换自伴算子所需的最小缩放。
• 𝜗(d) 的公式导出了涉及二项分布和贝塔分布的新概率恒等式，其函数形式源于该公式。
• 任何属于有界自由谱半定域 D_L 的 d×d 对称矩阵 d 元组 X，均可扩张为联合谱位于对应谱半定域 S_L 中的可交换自伴算子 d 元组 T，缩放因子为 𝜗(d)。
• 自由谱半定域包含关系 D_L ⊂ D_M 意味着 S_L ⊂ S_M，而缩放因子 𝜗(d) 精确度量了在所有大小为 d 的首一线性铅笔下，该自由松弛的最坏情况误差。
• 判断 D_L ⊂ D_M 是否成立在计算上是可行的，因为其可归约为求解一个显式的线性矩阵不等式。
• 缩放因子 𝜗(d) 提供了量化指标，衡量一个正映射在多大程度上会失效为完全正映射，从而将算子理论与凸几何及概率联系起来。