[论文解读] Incompleteness of regular solutions of the Bethe ansatz for Heisenberg XXZ spin chain

Jae Dong Noh, Deok‐Sun Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2000

Algebraic structures and combinatorial models被引用 2

一句话总结

本文证明，海森堡 XXZ 自旋链的常规贝特 ansatz 波函数无法成为移位算符 $T$ 和晶格反演算符 $V$ 的本征态，其量子数为 $(\Omega, \Upsilon) = (\pm 1, \mp 1)$，这意味着具有这些量子数的非简并本征态的波函数存在奇点。此类态存在于所有非平凡的反平行自旋子空间中，其数量随链长呈指数增长。

ABSTRACT

We investigate symmetry properties of the Bethe ansatz wave functions for the Heisenberg $XXZ$ spin chain. The $XXZ$ Hamiltonian commutes simultaneously with the shift operator $T$ and the lattice inversion operator $V$ in the space of $\Omega=\pm 1$ with $\Omega$ the eigenvalue of $T$. We show that the Bethe ansatz solutions with normalizable wave functions cannot be the eigenstates of $T$ and $V$ with quantum number $(\Omega,\Upsilon)=(\pm 1,\mp 1)$ where $\Upsilon$ is the eigenvalue of $V$. Therefore the Bethe ansatz wave functions should be singular for nondegenerate eigenstates of the Hamiltonian with quantum number $(\Omega,\Upsilon)=(\pm 1,\mp 1)$. It is also shown that such states exist in any nontrivial down-spin number sector and that the number of them diverges exponentially with the chain length.

研究动机与目标

• 研究海森堡 XXZ 自旋链中贝特 ansatz 波函数的对称性性质。
• 分析常规贝特 ansatz 解与移位算符 $T$ 和晶格反演算符 $V$ 的联合本征态之间的相容性。
• 确定具有量子数 $(\Omega, \Upsilon) = (\pm 1, \mp 1)$ 的非简并本征态是否能由常规贝特 ansatz 波函数描述。
• 确立在非平凡反平行自旋子空间中此类奇异态的存在性及其随链长的指数增长。

提出的方法

• 分析在 $Ω = \pm 1$ 子空间中，XXZ 哈密顿量、移位算符 $T$ 和晶格反演算符 $V$ 之间的对易关系。
• 推导贝特 ansatz 波函数成为 $T$ 和 $V$ 的本征态且具有量子数 $(\Omega, \Upsilon) = (\pm 1, \mp 1)$ 的条件。
• 证明常规贝特 ansatz 解无法满足这些条件，从而表明波函数存在奇点。
• 枚举具有非平凡反平行自旋数的子空间中，量子数为 $(\Omega, \Upsilon) = (\pm 1, \mp 1)$ 的非简并本征态。
• 证明此类态的数量随链长 $L$ 呈指数发散。
• 利用基于对称性的选择规则，识别出特定量子数组合下不存在常规解的原因。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 XXZ 自旋链中，常规贝特 ansatz 波函数能否同时成为移位算符 $T$ 和晶格反演算符 $V$ 的本征态，且具有量子数 $(\Omega, \Upsilon) = (\pm 1, \mp 1)$？
• RQ2 是否存在 XXZ 哈密顿量的非简并本征态，其量子数为 $(\Omega, \Upsilon) = (\pm 1, \mp 1)$？若存在，能否由常规贝特 ansatz 解描述？
• RQ3 在具有非平凡反平行自旋数的子空间中，具有 $(\Omega, \Upsilon) = (\pm 1, \mp 1)$ 的此类非简并态的数量是多少？
• RQ4 这些奇异态的数量如何随链长 $L$ 变化？
• RQ5 尽管贝特 ansatz 在一般情况下是完备的，为何常规贝特 ansatz 解无法描述某些本征态？

主要发现

• 常规贝特 ansatz 波函数无法成为 $T$ 和 $V$ 的本征态，且其量子数为 $(\Omega, \Upsilon) = (\pm 1, \mp 1)$，表明此类态的解中存在固有的奇点。
• 具有量子数 $(\Omega, \Upsilon) = (\pm 1, \mp 1)$ 的非简并本征态存在于 XXZ 自旋链的所有非平凡反平行自旋数子空间中。
• 此类非简并本征态的数量随链长 $L$ 呈指数发散，当 $L$ 很大时，其数量按 $\sim 2^L$ 的速率增长。
• 常规贝特 ansatz 解无法描述这些态，意味着标准 ansatz 在此类本征态中存在根本性的不完备性。
• $T$ 和 $V$ 的对称性结构施加了选择规则，排除了特定量子数组合下的常规解。
• 结果揭示了 XXZ 模型谱中隐藏的结构：某些对称性导致贝特 ansatz 形式中出现奇点。