[论文解读] Incompressibility and spectral gaps of random circuits

Chi-Fang Chen, Jeongwan Haah+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2024

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 4

一句话总结

本文建立了随机可逆电路与量子电路的紧致谱隙界限，证明其混合速率在指数时间内与电路深度无关。研究显示，具有 O(n⁴t) 个门的随机量子电路可形成乘法误差 t-设计，且当 t ≤ Θ(2ⁿ/²) 时，电路复杂度在指数时间尺度内线性增长——由此解决了鲁棒布朗-苏斯金德猜想，并确立了随机电路的不可压缩性。

ABSTRACT

Random reversible and quantum circuits form random walks on the alternating group $\mathrm{Alt}(2^n)$ and unitary group $\mathrm{SU}(2^n)$, respectively. Known bounds on the spectral gap for the $t$-th moment of these random walks have inverse-polynomial dependence in both $n$ and $t$. We prove that the gap for random reversible circuits is $Ω(n^{-3})$ for all $t\geq 1$, and the gap for random quantum circuits is $Ω(n^{-3})$ for $t \leq Θ(2^{n/2})$. These gaps are independent of $t$ in the respective regimes. We can further improve both gaps to $n^{-1}/\mathrm{polylog}(n, t)$ for $t\leq 2^{Θ(n)}$, which is tight up to polylog factors. Our spectral gap results have a number of consequences: 1) Random reversible circuits with $\mathcal{O}(n^4 t)$ gates form multiplicative-error $t$-wise independent (even) permutations for all $t\geq 1$; for $t \leq Θ(2^{n/6.1})$, we show that $ ilde{\mathcal{O}}(n^2 t)$ gates suffice. 2) Random quantum circuits with $\mathcal{O}(n^4 t)$ gates form multiplicative-error unitary $t$-designs for $t \leq Θ(2^{n/2})$; for $t\leq Θ(2^{2n/5})$, we show that $ ilde{\mathcal{O}}(n^2t)$ gates suffice. 3) The robust quantum circuit complexity of random circuits grows linearly for an exponentially long time, proving the robust Brown--Susskind conjecture [BS18,BCHJ+21]. Our spectral gap bounds are proven by reducing random quantum circuits to a more structured walk: a modification of the ``$\mathrm{PFC}$ ensemble'' from [MPSY24] together with an expander on the alternating group due to Kassabov [Kas07a], for which we give an efficient implementation using reversible circuits. In our reduction, we approximate the structured walk with local random circuits without losing the gap, which uses tools from the study of frustration-free Hamiltonians.

研究动机与目标

• 为 n 量子比特或比特的随机可逆与量子电路建立紧致的、与 t 无关的谱隙界限。
• 证明随机电路可形成具有乘法误差的近似 t-设计，量化其收敛到均匀分布的过程。
• 通过证明随机电路的量子电路复杂度在指数时间尺度内线性增长，从而解决鲁棒布朗-苏斯金德猜想。
• 证明随机电路不可压缩，即其复杂度随门数线性增长。

提出的方法

• 通过改进的 PFC 系综与卡萨博夫在交错群上的展开图，将随机量子电路简化为一种结构化随机游走。
• 利用无 frustration 量化的工具，将结构化随机游走近似为局部随机电路，且不损失谱隙。
• 采用卡兹丹常数与矩算子分析，界定本质范数并推导谱隙。
• 构建高效的可逆电路，利用卡萨博夫的生成元与有界生成技术，生成交错群 Alt(2ⁿ)。
• 应用多项式插值与重叠定理，界定高保真态制备的概率。
• 使用网论证与迹范数估计，从近似 t-设计性质推导出电路复杂度的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机可逆电路的谱隙是多少？对于所有 t ≥ 1，该谱隙是否与电路深度 t 无关而保持有界？
• RQ2 随机量子电路能否在 t 达到 n 的指数级别时形成乘法误差酉 t-设计？所需门数是多少？
• RQ3 随机电路的鲁棒量子电路复杂度是否随门数线性增长，从而确认鲁棒布朗-苏斯金德猜想？
• RQ4 随机电路的谱隙能否与 t 无关地界定？这与其形成 t-设计的能力有何关联？
• RQ5 具有 O(n⁴t) 个门的随机量子电路是否足以在 t ≤ Θ(2ⁿ/²) 时形成乘法误差 t-设计？能否改进为 ˜O(n²t)？

主要发现

• 对于所有 t ≥ 1，随机可逆电路的谱隙为 Ω(n⁻³)，且与 t 无关。
• 对于随机量子电路，当 t ≤ Θ(2ⁿ/²) 时，谱隙为 Ω(n⁻³)，同样与 t 无关。
• 具有 O(n⁴t) 个门的随机可逆电路可形成所有 t ≥ 1 的乘法误差 t-次独立置换；当 t ≤ Θ(2ⁿ/⁶.¹) 时，˜O(n²t) 个门已足够。
• 具有 O(n⁴t) 个门的随机量子电路可形成 t ≤ Θ(2ⁿ/²) 时的乘法误差酉 t-设计；当 t ≤ Θ(2²ⁿ/⁵) 时，˜O(n²t) 个门已足够。
• 随机量子电路的鲁棒量子电路复杂度随门数 L 线性增长，以高概率满足 CQ,𝛿(U|0ⁿ⟩) ≥ Ω(L/n⁴)，其中 L ≤ O(2ⁿ/²)。
• 鲁棒布朗-苏斯金德猜想得以解决：随机量子电路不可压缩，其复杂度在指数时间尺度内线性增长。