[论文解读] Incompressible limit of the compressible non-isentropic magnetohydrodynamic equations with zero magnetic diffusivity

Song Jiang, Qiangchang Ju+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文在 $[\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上建立了零磁扩散率下可压缩非等熵磁流体动力学（MHD）方程的不可压缩极限，针对一般初始数据。通过推导与马赫数 $\em>\epsilon$ 无关的统一先验估计，并证明在与 $\em>\epsilon$ 无关的时间区间上解的存在性，作者展示了当 $\em>\epsilon \to 0$ 时解收敛至不可压缩 MHD 系统，包括极限系统的结构以及熵和磁场的作用。

ABSTRACT

We study the incompressible limit of the compressible non-isentropic magnetohydrodynamic equations with zero magnetic diffusivity and general initial data in the whole space $\mathbb{R}^d$ $(d=2,3)$. We first establish the existence of classic solutions on a time interval independent of the Mach number. Then, by deriving uniform a priori estimates, we obtain the convergence of the solution to that of the incompressible magnetohydrodynamic equations as the Mach number tends to zero.

研究动机与目标

• 分析 $[\mathbb{R}^d$ ($d=2,3$) 上零磁扩散率下可压缩非等熵 MHD 方程的不可压缩极限。
• 在与马赫数 $\em>\epsilon$ 无关的时间区间上建立经典解的存在性。
• 在 Sobolev 空间中推导与 $\em>\epsilon$ 无关的统一先验估计。
• 在一般初始数据条件下，证明当 $\em>\epsilon \to 0$ 时可压缩 MHD 解收敛至不可压缩 MHD 解。
• 表征极限系统，包括熵、磁场和速度在不可压缩状态下的作用。

提出的方法

• 引入无量纲马赫数 $\em>\epsilon$ 以缩放可压缩 MHD 方程，并研究当 $\em>\epsilon \to 0$ 时的极限行为。
• 使用熵 $S$ 和压强 $p$ 作为状态变量，给出状态方程 $\rho = R(S,p)$，$\theta = \Theta(S,p)$，并假设 $\partial R/\partial p > 0$。
• 将系统改写为以 $S$、$p$、速度 $\mathbf{u}$ 和磁场 $\mathbf{H}$ 表示的形式，其中内能方程（1.8）和熵方程（1.10）在 $\kappa = 0$ 条件下成立。
• 对动量和能量方程实施变量替换，以 $q = p - p_0$ 和 $\mathbf{u}$ 表示，其中 $p_0$ 为参考压强。
• 利用磁扩散项控制 $\mathbf{H}^\epsilon$ 项，在与 $\em>\epsilon$ 无关的时间区间 $[0,T]$ 上，对解 $(S^\epsilon, q^\epsilon, \mathbf{u}^\epsilon, \mathbf{H}^\epsilon)$ 推导出统一的 $H^s$ 估计。
• 通过 $L^\infty(0,T;H^s)$ 和 $L^2(0,T;H^{s'})$ 中的弱收敛与强收敛，识别出极限 $(\bar{S}, 0, \mathbf{v}, \bar{\mathbf{H}})$ 为不可压缩 MHD 系统（5.14）–（5.17）的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当马赫数趋于零时，零磁扩散率下可压缩非等熵 MHD 方程的解是否收敛至不可压缩 MHD 系统的解？
• RQ2 对于 $[\mathbb{R}^d$ 中的一般初始数据，是否可在与马赫数 $\em>\epsilon$ 无关的时间区间上构造经典解？
• RQ3 在 Sobolev 空间中，与 $\em>\epsilon$ 无关的统一先验估计是什么？
• RQ4 熵 $S$ 和磁场 $\mathbf{H}$ 在不可压缩极限下的行为如何？初始数据的衰减性质有何作用？
• RQ5 极限系统的精确结构是什么？速度场 $\mathbf{v}$ 如何由初始数据确定？

主要发现

• 对任意 $M_0 > 0$，存在时间 $T = T(M_0)$，使得可压缩 MHD 方程的柯西问题在 $C^0([0,T], H^s(\mathbb{R}^d))$ 中存在唯一解，且对所有 $\epsilon \in (0,1]$ 满足 $\|\cdot\|_{H^s} \leq N(M_0)$。
• 解 $(S^\epsilon, q^\epsilon, \mathbf{u}^\epsilon, \mathbf{H}^\epsilon)$ 在 $L^\infty(0,T; H^s(\mathbb{R}^d))$ 中弱收敛，在 $L^2(0,T; H^{s'}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d))$ 中强收敛于 $(\bar{S}, 0, \mathbf{v}, \bar{\mathbf{H}})$，其中对所有 $s' < s$ 成立。
• 极限 $(\bar{S}, \mathbf{v}, \bar{\mathbf{H}})$ 满足不可压缩 MHD 系统（5.14）–（5.17），其中 $\text{div}\,\mathbf{v} = 0$，$\text{div}\,\bar{\mathbf{H}} = 0$，且 $\partial_t \bar{S} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\bar{S} = 0$。
• 速度 $\mathbf{v}$ 由初始数据 $\mathbf{v}_0$ 通过条件 $\text{div}\,\mathbf{w}_0 = 0$ 和 $\text{curl}(r(S_0,0)\mathbf{w}_0) = \text{curl}(r(S_0,0)\mathbf{v}_0)$ 确定，其中 $r(S_0,0) = \lim_{\epsilon \to 0} r^\epsilon(S^\epsilon_0, 0)$。
• 压强梯度 $\nabla \hat{\pi}$ 属于 $C([0,T], H^{s-1}(\mathbb{R}^d))$，确保了极限压强的正则性。