[论文解读] Incorporating fat tails in financial models using entropic divergence measures

Santanu S. Dey, Sandeep Juneja|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2012

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文提出使用多项式分歧（等价于Tsallis或Rényi熵）作为金融建模中I-分歧的替代方法，以解决现有基于熵的方法在重尾分布下失效的问题。该研究建立了在多项式分歧下解的存在性与唯一性，从而实现即使在资产收益呈现厚尾特征时，也能进行稳健校准与投资组合优化。

ABSTRACT

In the existing financial literature, entropy based ideas have been proposed in portfolio optimization, in model calibration for options pricing as well as in ascertaining a pricing measure in incomplete markets. The abstracted problem corresponds to finding a probability measure that minimizes the relative entropy (also called $I$-divergence) with respect to a known measure while it satisfies certain moment constraints on functions of underlying assets. In this paper, we show that under $I$-divergence, the optimal solution may not exist when the underlying assets have fat tailed distributions, ubiquitous in financial practice. We note that this drawback may be corrected if `polynomial-divergence' is used. This divergence can be seen to be equivalent to the well known (relative) Tsallis or (relative) Renyi entropy. We discuss existence and uniqueness issues related to this new optimization problem as well as the nature of the optimal solution under different objectives. We also identify the optimal solution structure under $I$-divergence as well as polynomial-divergence when the associated constraints include those on marginal distribution of functions of underlying assets. These results are applied to a simple problem of model calibration to options prices as well as to portfolio modeling in Markowitz framework, where we note that a reasonable view that a particular portfolio of assets has heavy tailed losses may lead to fatter and more reasonable tail distributions of all assets.

研究动机与目标

• 为解决在资产收益呈现重尾分布时，I-分歧在建模中失效的问题，即最优解可能不存在。
• 开发一种对I-分歧的稳健替代方法，确保在重尾分布下解的存在性与唯一性。
• 将基于熵的方法扩展至处理一般约束条件，包括对基础资产函数的边际分布的指定。
• 提供一种框架，将专家观点（如投资组合具有重尾损失）整合到金融模型中。
• 将所提方法应用于实际问题，如期权定价校准与具备现实厚尾行为的Markowitz投资组合优化。

提出的方法

• 以多项式分歧替代I-分歧，其定义为 $ D_p(f||g) = \frac{1}{p-1} \left( \int f(x)^p g(x)^{1-p} dx - 1 \right) $，该形式对应于相对Tsallis或Rényi熵。
• 将优化问题表述为：在满足矩约束与边际分布约束的条件下，最小化相对于先验测度 $ g $ 的多项式分歧。
• 利用拉格朗日对偶性推导出最优密度的解析形式，表明在多项式分歧下，其形式为指数族分布。
• 在技术条件（包括先验密度 $ g $ 的可积性与尾部行为）下，建立解的存在性与唯一性。
• 将该方法应用于两个关键金融问题：基于期权价格校准风险中性测度，以及在专家观点下更新投资组合分布。
• 采用测度变换与变换技术分析尾部分布行为，尤其关注条件密度与边际分布下的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在金融模型中，当底层资产具有重尾分布时，I-分歧最小化在何种条件下会失效？
• RQ2 多项式分歧是否可替代I-分歧，以确保在重尾分布下最优测度的存在性与唯一性？
• RQ3 当对资产函数的边际分布施加约束时，多项式分歧下的最优解与I-分歧下的最优解有何差异？
• RQ4 在投资组合损失分布被假设为重尾（如t分布）时，对个体资产尾部分布行为有何影响？
• RQ5 所提方法是否可有效应用于在现实重尾假设下的期权定价校准与Markowitz投资组合优化？

主要发现

• 当底层资产具有重尾分布时，I-分歧下的最优解可能不存在，尤其当在零附近邻域内矩生成函数不存在时。
• 多项式分歧在较弱技术条件下仍能确保最优测度的存在性与唯一性，即使先验分布具有厚尾特征。
• 在多项式分歧下，最优密度形式为 $ \tilde{f}(y|x) \propto \exp\left( -\frac{1}{2}(y - \tilde{\mu}_{y|x})^T \Sigma_{y|x}^{-1} (y - \tilde{\mu}_{y|x}) \right) $，其均值与协方差结构经过修正。
• 当假设投资组合具有重尾损失分布（如t分布）时，个体资产的后验分布表现出比I-分歧下更厚的尾部。
• 在多项式分歧框架下，$ Y_1 $ 的边际分布尾部衰减速率约为 $ \left( \frac{\sigma_{xy_1}}{\sigma_{xx}} \right)^{\alpha - 1} $，其中 $ \alpha $ 控制先验密度 $ g $ 的尾部厚度。
• 利用控制收敛定理证明，在 $ g $ 的适当尾部条件下，边际密度在无穷远处的极限为有限且非零，从而确认后验分布中重尾特性的持续存在。