[论文解读] Increasing hyperbolicity of varieties supporting a variation of Hodge structures with level structures

Yohan Brunebarbe|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 7

一句话总结

本文证明了，对于支持具有准有限周期映射的Hodge结构变化的复代数簇的有限étale覆盖子簇，随着层次的增加，其双曲性逐渐增强。通过证明子簇的体积与扭结数随层次增加而趋于无穷，该研究将经典关于曲线与阿贝尔簇模空间的结果推广至更广泛的具有准有限周期映射的代数簇类，并通过层次结构下线丛的正性，实现了对双曲性的有效控制。

ABSTRACT

Looking at the finite étale congruence covers $X(p)$ of a complex algebraic variety $X$ equipped with a variation of integral polarized Hodge structures whose period map is quasi-finite, we show that both the minimal gonality among all curves contained in $X(p)$ and the minimal volume among all subvarieties of $X(p)$ tend to infinity with $p$. This applies for example to Shimura varieties, moduli spaces of curves, moduli spaces of abelian varieties, moduli spaces of Calabi-Yau varieties, and can be made effective in many cases. The proof goes roughly as follows. We first prove a generalization of the Arakelov inequalities valid for any variation of Hodge structures on higher-dimensional algebraic varieties, which implies that the hyperbolicity of the subvarieties of $X$ is controlled by the positivity of a single line bundle. We then show in general that a big line bundle on a normal proper algebraic variety $\bar X$ can be made more and more positive by going to finite covers of $\bar X$ defined using level structures of a local system defined on a Zariski-dense open subset.

研究动机与目标

• 理解支持Hodge结构变化的代数簇的有限étale层次覆盖下，子簇双曲性特征的演化规律。
• 将关于曲线与阿贝尔簇模空间的经典结果推广至具有准有限周期映射的更广泛代数簇类。
• 通过线丛的正性，建立子簇在层次覆盖下体积与扭结数的有效下界。
• 证明此类覆盖的子簇最终为一般型，且双有理复杂度持续增加。

提出的方法

• 将Arakelov不等式推广至高维代数簇，以建立双曲性与Griffiths线丛正性之间的联系。
• 利用Hodge度量计算陈类，并分析Griffiths线丛的曲率性质。
• 通过局部系统上的层次结构构造有限étale覆盖，以增强紧化空间上线丛的正性。
• 通过考虑双有理模型与对数正则延拓，将问题约化至充分线丛的情形。
• 应用Hodge结构的亚纯延拓理论，控制奇点并确保度量可延拓至对数正则线丛。
• 利用Weil下降与Torelli嵌入，将阿贝尔簇模空间的结果转移至曲线与Calabi-Yau簇的模空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 当层次增加时，支持Hodge结构变化的代数簇的层次覆盖中，子簇的双曲性如何演变？
• RQ2 能否证明此类覆盖中所有子簇的体积与扭结数均一致趋于无穷？
• RQ3 Griffiths线丛的正性在高维代数簇中在多大程度上可控制双曲性？
• RQ4 能否从层次覆盖结构与Hodge度量出发，导出体积与扭结数的有效界？
• RQ5 在层次结构下，Calabi-Yau簇模空间与阿贝尔簇模空间是否表现出不断增强的双曲性？

主要发现

• 对所有除有限多个素数p外，X(p)的任意整子簇Y均满足vol(Y) ≥ v，对任意给定的v > 0，表明子簇最终为一般型。
• X(p)中曲线的最小亏格随p趋于无穷，且最小扭结数亦然。
• 当p增加时，X(p)中任意子簇的体积趋于无穷，且在许多情形下为有效结果。
• 对于阿贝尔簇模空间Ag(n)，当n > 6g时，每个子簇均为一般型，且曲线的扭结数至少为⌈n/(6g)⌉。
• 对于极化Calabi-Yau簇模空间，其层次-p覆盖中子簇的最小体积与扭结数随p趋于无穷。
• 结果在Shimura簇、曲线模空间、阿贝尔簇模空间及Calabi-Yau簇模空间上均适用，且在许多情形下可获得有效界。