[论文解读] Increasing Labelings, Generalized Promotion, and Rowmotion

Kevin Dilks, Jessica Striker+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Advanced Algebra and Logic被引用 2

一句话总结

本论文将 K-提升和行变换推广至具有标签限制的有限偏序集上的任意递增标记，引入了一种新的切换群作用——切换-提升。证明了当标签约束为全局性时（例如标签有界），切换-提身与行变换共轭，从而将先前关于链积及将偏序集嵌入笛卡尔积的结果推广至更一般情形。

ABSTRACT

In 2012, N. Williams and the second author showed that on order ideals of ranked partially ordered sets (posets), rowmotion is conjugate to (and thus has the same orbit structure as) a different toggle group action, which in special cases is equivalent to promotion on linear extensions of posets constructed from two chains. In 2015, O. Pechenik and the first and second authors extended these results to show that increasing tableaux under K-promotion naturally corresponds to order ideals in a product of three chains under a toggle group action conjugate to rowmotion they called hyperplane promotion. In this paper, we generalize these results to the setting of arbitrary increasing labelings of any finite poset with given restrictions on the labels. We define a generalization of K-promotion in this setting and show it corresponds to a toggle group action we call toggle-promotion on order ideals of an associated poset. When the restrictions on labels are particularly nice (for example, specifying a global bound on all labels used), we show that toggle-promotion is conjugate to rowmotion. Additionally, we show that any poset that can be nicely embedded into a Cartesian product has a natural toggle-promotion action conjuate to rowmotion.

研究动机与目标

• 将 K-提升与行变换之间的对应关系从特定偏序集推广至具有标签限制的任意有限偏序集。
• 在给定标签约束下，为偏序集上的递增标记定义一种广义的提升操作——切换-提升。
• 建立切换-提升与行变换共轭的条件，特别是当标签全局有界时。
• 证明可嵌入笛卡尔积的偏序集具有与行变换共轭的切换-提升作用。
• 统一并推广关于递增表格、序理想中提升、行变换与切换作用的先前结果。

提出的方法

• 在有限偏序集上定义带标签值约束的递增标记，推广标准递增表格的概念。
• 引入一种广义的提升操作——切换-提升，通过关联的序理想偏序集上的切换群作用来实现。
• 构造一个辅助偏序集，其序理想编码了在给定约束下的递增标记。
• 利用序理想上的切换群作用来建模广义的提升过程。
• 证明当标签约束为全局性时（例如所有标签 ≤ k），切换-提升与行变换共轭。
• 利用嵌入技术将共轭结果推广至可良好嵌入笛卡尔积的偏序集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，递增标记上的广义切换-提升作用与序理想上的行变换共轭？
• RQ2 如何将 K-提升推广至具有任意标签限制的任意偏序集？
• RQ3 偏序集或标签约束的何种结构特性可确保切换-提升与行变换共轭？
• RQ4 切换-提升与行变换的共轭关系能否推广至嵌入笛卡尔积的偏序集？
• RQ5 全局标签边界在实现提升类作用与行变换共轭中起何种作用？

主要发现

• 当标签限制对所有使用的标签施加全局上界时，切换-提升与行变换共轭。
• 广义的提升操作在递增标记上精确对应于关联偏序集的序理想上的切换群作用。
• 对于可良好嵌入笛卡尔积的偏序集，切换-提升作用与行变换共轭。
• 该框架推广了关于链积中 K-提升与超平面提升的先前结果。
• 切换-提升与行变换的共轭关系在标签约束具有轻微结构条件时成立，特别是当约束在整个偏序集中一致时。
• 该构造提供了一种统一的代数机制，通过序理想与切换群将提升类动力系统与行变换联系起来。