[论文解读] Increasing paths in edge-ordered graphs: the hypercube and random graphs

Jessica De Silva, Theodore Molla+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文为边有序图中最长递增路径的长度建立了新的下界和上界，重点研究了超立方体和随机图。证明了超立方体 $Q_d$ 满足 $f(Q_d) \in \left[\frac{d}{\log d}, d\right]$，并对随机图 $G(n,p)$ 证明了以高概率有 $f(G(n,p)) \geq \frac{(1-o(1))np}{\omega(n)\log n}$，从而深化了对稀疏图和结构化图中递增路径行为的理解。

ABSTRACT

An edge-ordering of a graph $G=(V,E)$ is a bijection $ϕ:E o\{1,2,...,|E|\}$. Given an edge-ordering, a sequence of edges $P=e_1,e_2,...,e_k$ is an increasing path if it is a path in $G$ which satisfies $ϕ(e_i)

研究动机与目标

• 确定 $d$-维超立方体 $Q_d$ 的 $f(G)$ 的紧致边界，其中 $f(G)$ 表示在所有边排序中，最长递增路径的最小长度。
• 分析随机图 $G(n,p)$ 的 $f(G(n,p))$，特别是在边概率稀疏的条件下。
• 将对递增路径的理解从完全图扩展至其他图类，因为 $f(K_n)$ 已被研究数十年。
• 应用组合与概率方法，为稀疏和结构化图中的 $f$ 推导渐近下界。
• 通过新引理与定理，建立图参数（如平均度、边色数）与递增路径长度之间的联系。

提出的方法

• 使用行人算法的推广形式，分析边有序图中的递增路径。
• 应用引理 2：若 $f(G) < k$，则图 $G$ 的边集可被 $n$ 个子图覆盖，每个子图最多包含 $k$ 个顶点。
• 采用引理 3：若 $2\zeta_k - k + 1 < d$，其中 $\zeta_k = \max_{U \subseteq V, |U|=k} |E(G[U])|$，则 $f(G) \geq k$。
• 利用 Vizing 定理，得到 $f(G) \leq \chi'(G) \leq \Delta(G) + 1$，用于证明上界 $f(Q_d) \leq d$。
• 应用并集界与概率界，估计 $G(n,p)$ 避免长递增路径的概率。
• 使用 Chernoff 不等式与并集界，证明 $G(n,p)$ 的最大度以高概率为 $O(np)$，从而支持边界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意边排序下，$d$-维超立方体 $Q_d$ 的最长递增路径的最小长度 $f(Q_d)$ 的渐近行为如何？
• RQ2 在稀疏区域中，随机图 $G(n,p)$ 的 $f(G(n,p))$ 表现为何种行为？
• RQ3 能否改进或扩展以平均度表示的 $f(G)$ 的下界，适用于特定图族？
• RQ4 以最大度或色指数表示的 $f(G)$ 的最紧致上界是什么？
• RQ5 图 $G(n,p)$ 的结构如何影响在随机边排序下长递增路径的存在性？

主要发现

• 对于 $d$-维超立方体 $Q_d$，证明了 $f(Q_d) \in \left[\frac{d}{\log d}, d\right]$，其中上界由 $\chi'(Q_d) \leq d+1$ 及超立方体为 $d$-正则图得出。
• 通过引理 3 证明了下界 $f(Q_d) \geq \frac{d}{\log d}$，即对 $k = \lceil d / \log d \rceil$，有 $2\zeta_k - k + 1 < d$。
• 对于随机图 $G(n,p)$，证明了当 $p \leq \frac{\log n}{\sqrt{n}} \omega(n)$ 时，以高概率有 $f(G(n,p)) \geq \frac{(1-o(1))np}{\omega(n)\log n}$。
• 推论 7 表明，当 $p \geq \frac{\log n}{\sqrt{n}} \omega(n)$ 时，以高概率有 $f(G(n,p)) \geq (1-o(1))\sqrt{n}$，与 $K_n$ 的最佳已知下界一致。
• 对 $G(n,p)$ 的边界在对数因子范围内是紧致的，因为以高概率有 $f(G(n,p)) \leq (1+o(1))np$，与最大度边界一致。
• 结果表明，即使 $p \ll 1$ 的稀疏图 $G(n,p)$ 仍可支持长度为 $\sqrt{n}$ 的递增路径，与完全图的最优已知边界一致。