[论文解读] Increasing tableaux and Narayana numbers

Timothy Pressey, Anna Stokke+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文建立了递增矩形表与广义Narayana数之间的联系，证明了形状为 $m \times n$ 的此类表的数目等于小 $m$-Schröder 数，即 $m$-Narayana 多项式在 $t=2$ 处的取值。此外，本文引入了计数公式的 $q$-模拟，并通过臂-腿逆序的组合解释，展示了在 $K$-提升作用下递增钩表上的循环筛法现象。

ABSTRACT

We give a counting formula for the set of rectangular increasing tableaux in terms of generalized Narayana numbers. We define small $m$-Schröder paths and give a bijection between the set of increasing rectangular tableaux and small $m$-Schröder paths, generalizing a result of Pechenik [3]. Using $K$-jeu de taquin promotion, which was defined by Thomas and Yong [10], we give a cyclic sieving phenomenon for the set of increasing hook tableaux.

研究动机与目标

• 将 Pechenik 关于形状为 $2 \times n$ 的递增表与小 Schröder 路径之间的双射推广到 $m \times n$ 的矩形形状。
• 推导出形状为 $m \times n$ 的递增表数目的公式，用广义Narayana数表示。
• 通过计数公式的 $q$-模拟，建立在递增钩表上 $K$- jeu de taquin 提升作用的循环筛法现象（CSP）。

提出的方法

• 在 $m$-维空间中定义小 $m$-Schröder 路径为从 $(0,\dots,0)$ 到 $(n,\dots,n)$ 的格路，使用步长 $X_i$，满足约束 $x_m \leq \cdots \leq x_1$，且具有 $\ell$ 个上升段。
• 构建小 $m$-Schröder 路径与形状为 $m \times n$ 的递增矩形表之间的双射，推广了 Pechenik 在 $m=2$ 时的结果。
• 使用 $K$- jeu de taquin 提升作用，定义形状为 $(N-r,1^r)$ 的递增钩表上的循环群作用，群阶为 $N-k-1$。
• 定义 $q$-模拟多项式 $X(q) = \left[\begin{smallmatrix}N-k-1 \\ r\end{smallmatrix}\right]_q \left[\begin{smallmatrix}r \\ k\end{smallmatrix}\right]_q$，其按臂-腿逆序计数表。
• 证明三元组 $(\mathop{\rm Inc}\nolimits_k(N-r,1^r), C, X(q))$ 满足循环筛法现象，其中 $C$ 是由 $K$-提升生成的循环群。
• 使用从递增钩表到标准钩表的映射 $\psi$，并利用 Reiner、Stanton 和 White 的结果验证 CSP。

实验结果

研究问题

• RQ1 形状为 $m \times n$ 的递增矩形表的数目如何用广义Narayana数表示？
• RQ2 Pechenik 关于递增表与小 Schröder 路径之间双射的推广是否可扩展到更高维度（$m > 2$）？
• RQ3 递增表计数公式的 $q$-模拟在 $K$-提升作用下是否表现出循环筛法现象？
• RQ4 用于 CSP 的 $q$-模拟多项式系数的组合解释是什么？
• RQ5 为何 $|\mathop{\rm Inc}\nolimits_1(3 \times 3)|$ 的自然 $q$-模拟公式在 $K$-提升作用下不满足 CSP？

主要发现

• 形状为 $m \times n$ 的递增表的数目等于小 $m$-Schröder 数 $N_{m,n}(2)$，推广了 Pechenik 在 $m=2$ 时的结果。
• 集合 $\mathop{\rm Inc}\nolimits_k(m \times n)$ 的基数是广义Narayana数 $N(m,n,\ell)$ 的线性组合，具体公式见定理 2.4。
• 一个关键推论指出 $|\mathop{\rm Inc}\nolimits_1(m \times n)| = \frac{(m-1)(n-1)}{2} |\mathop{\rm SYT}\nolimits(m \times n)|$，将递增表与标准表联系起来。
• $q$-模拟多项式 $X(q) = \left[\begin{smallmatrix}N-k-1 \\ r\end{smallmatrix}\right]_q \left[\begin{smallmatrix}r \\ k\end{smallmatrix}\right]_q$ 按臂-腿逆序计数递增钩表，并在 $K$-提升作用下满足循环筛法现象。
• $q$-模拟多项式的系数具有自然的组合解释，即递增钩表中臂-腿逆序的数目。
• 一个例子表明，$|\mathop{\rm Inc}\nolimits_1(3 \times 3)|$ 的自然 $q$-模拟公式在单位根 $\zeta_8$（8次单位根）处不取整数值，因此不满足 CSP，凸显了该 $q$-模拟选择的非平凡性。