[论文解读] Increasing the chromatic number of a random graph

Noga Alon, Benny Sudakov|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文确定了为将随机图 $G_{n,0.5}$ 的色数提高 1% 所需添加的最少边数，表明所需边数为 $\Omega(n^2/\log^2 n)$，且该数量级在常数因子范围内是紧确界。对于 $p$ 满足 $n^{-1/3+\delta} \leq p \leq 1/2$ 的 $G_{n,p}$，本文建立了色数在全局与局部韧性上的紧界，证明添加次二次数量的边不会显著提高色数至其典型值以上。

ABSTRACT

What is the minimum number of edges that have to be added to the random graph $G=G_{n,0.5}$ in order to increase its chromatic number $χ=χ(G)$ by one percent ? One possibility is to add all missing edges on a set of $1.01 χ$ vertices, thus creating a clique of chromatic number $1.01 χ$. This requires, with high probability, the addition of $Ω(n^2/\log^2 n)$ edges. We show that this is tight up to a constant factor, consider the question for more general random graphs $G_{n,p}$ with $p=p(n)$, and study a local version of the question as well. The question is motivated by the study of the resilience of graph properties, initiated by the second author and Vu, and improves one of their results.

研究动机与目标

• 确定为使 $G_{n,0.5}$ 的色数提高 1% 所需添加的最少边数。
• 将此分析扩展至一般随机图 $G_{n,p}$，其中 $p \in [n^{-1/3+\delta}, 1/2]$。
• 建立色数在全局与局部韧性上的紧界，相对于典型色数 $\sim n/(2\log_b(np))$。
• 改进 S. Sudakov 与 V. Vu 的先前韧性界，特别是其 $np^2/\log^5 n$ 的局部韧性估计。

提出的方法

• 使用 Sudakov 与 Vu 的韧性框架，分析为改变色数需添加多少条边。
• 应用概率方法及一阶与二阶矩计算，以界定独立数与色数。
• 采用基于在顶点子集诱导的子图中寻找大独立集的迭代染色过程。
• 利用集中不等式与度数界，控制在局部韧性设定下图 $H$ 所添加的边数。
• 使用不等式 $\chi(G) \leq n/\alpha(G)$ 作为色数的下界，并通过独立集构造推导上界。
• 应用引理 3.1 与引理 3.2，以界定诱导子图中的边数，确保色数保持在典型值的 $1+\epsilon$ 范围内。

实验结果

研究问题

• RQ1 必须为 $G_{n,0.5}$ 添加多少条边，才能使其色数提高 1%？
• RQ2 对于 $p \in [n^{-1/3+\delta}, 1/2]$，$G_{n,p}$ 的色数的全局韧性如何随 $n$ 与 $p$ 变化？
• RQ3 能否在先前工作的 $np^2/\log^5 n$ 局部韧性界基础上进一步改进？
• RQ4 局部韧性界中的 $\log\log n$ 因子是否紧致，或可被移除？
• RQ5 使色数提高 $1+\epsilon$ 倍的最有效方式是否为构造一个大团？

主要发现

• 对于色数至多为 $(1+\epsilon)n/(2\log_b(np))$ 的 $G_{n,p}$，其色数的全局韧性为 $\Theta(n^2/\log^2_b(np))$，在常数因子范围内是紧确界。
• 当 $p \in [n^{-1/3+\delta}, 1/2]$ 时，几乎必然地，添加 $2^{-12}\epsilon^2 n^2 / \log^2_b(np)$ 条边不会使色数超过 $(1+\epsilon)n/(2\log_b(np))$。
• 当添加图 $H$ 的最大度数不超过 $2^{-8}\epsilon n / (\log_b(np)\log\log n)$ 时，局部韧性界成立，确保色数保持在典型值的 $1+\epsilon$ 范围内。
• 局部韧性界的 $\log\log n$ 因子并非紧致，提示存在改进空间。
• 本文猜想，局部韧性条件中的 $\log\log n$ 因子可能是可移除的。
• 使色数提高 $1+\epsilon$ 倍的最经济方式可能是构造一个大小约为 $\sim n/\log_b(np)$ 的团，所需边数约为 $\sim n^2/(16\log^2_b n)$，但该问题仍为开放问题。