[论文解读] Incremental $(1-ε)$-approximate dynamic matching in $O(poly(1/ε))$ update time

Joakim Blikstad, P. Kiss|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 3

一句话总结

本论文提出了首个针对增量二分图的确定性 (1−ε)-近似动态匹配算法，使用加权边度约束子图（EDCS）数据结构的创新应用，实现 O(poly(1/ε)) 的摊销更新时间。通过在 EDCS 上维护一个分数匹配和分数顶点覆盖，实现 (1−ε)-近似；并扩展至支持顶点删除的完全动态图，具有加法 (1, ε·n) 近似保证。

ABSTRACT

In the dynamic approximate maximum bipartite matching problem we are given bipartite graph $G$ undergoing updates and our goal is to maintain a matching of $G$ which is large compared the maximum matching size $μ(G)$. We define a dynamic matching algorithm to be $α$ (respectively $(α, β)$)-approximate if it maintains matching $M$ such that at all times $|M | \geq μ(G) \cdot α$ (respectively $|M| \geq μ(G) \cdot α- β$). We present the first deterministic $(1-ε)$-approximate dynamic matching algorithm with $O(poly(ε^{-1}))$ amortized update time for graphs undergoing edge insertions. Previous solutions either required super-constant [Gupta FSTTCS'14, Bhattacharya-Kiss-Saranurak SODA'23] or exponential in $1/ε$ [Grandoni-Leonardi-Sankowski-Schwiegelshohn-Solomon SODA'19] update time. Our implementation is arguably simpler than the mentioned algorithms and its description is self contained. Moreover, we show that if we allow for additive $(1, ε\cdot n)$-approximation our algorithm seamlessly extends to also handle vertex deletions, on top of edge insertions. This makes our algorithm one of the few small update time algorithms for $(1-ε)$-approximate dynamic matching allowing for updates both increasing and decreasing the maximum matching size of $G$ in a fully dynamic manner.

研究动机与目标

• 设计一种针对 (1−ε)-近似二分图匹配的确定性动态匹配算法，且更新时间复杂度为亚多项式。
• 在仅支持边插入的增量图中，实现 O(poly(1/ε)) 的摊销更新时间。
• 将算法扩展至支持完全动态设置下的边插入与顶点删除，并提供加法近似保证。
• 对加权 EDCS 作为匹配稀疏化工具的分析进行简化，提供紧致的近似保证。
• 首次将加权 EDCS 应用于任意稠密图的动态匹配问题。

提出的方法

• 利用加权边度约束子图（EDCS）数据结构作为动态二分图匹配的稀疏化工具。
• 在 EDCS 上维护分数匹配与分数顶点覆盖，以证明近似比。
• 在 EDCS 边上引入新颖的加权方案，以控制度约束并保持匹配大小。
• 采用自包含的分析方法，证明加权 EDCS 能够保留至少 (1−ε) 倍的最大匹配大小。
• 通过允许加法 (1, ε·n) 近似，将算法扩展以支持顶点删除。
• 利用构造性下界证明：在加权 EDCS 中，β = Θ(1/ε²) 是实现 (1−ε)-近似所必需的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在增量图中实现 O(poly(1/ε)) 更新时间的确定性 (1−ε)-近似动态匹配算法？
• RQ2 加权 EDCS 结构是否足以在稠密图中保留 (1−ε) 倍的最大匹配？
• RQ3 在加权 EDCS 中，为保证 (1−ε)-近似，所需的最小 β（度阈值）是多少？
• RQ4 能否将算法扩展至支持完全动态设置下的边插入与顶点删除？
• RQ5 与先前工作相比，能否对加权 EDCS 作为匹配稀疏化工具的分析进行简化？

主要发现

• 该算法在仅支持边插入的场景下，实现了 O(poly(1/ε)) 的摊销更新时间，用于 (1−ε)-近似动态匹配。
• 当 β ≥ Θ(1/ε²) 时，加权 EDCS 能够保留至少 (1−ε)µ(G) 的匹配大小，且该界是紧致的。
• 本文提供了加权 EDCS 作为匹配稀疏化工具的近似比的显著简化证明。
• 该算法可扩展以支持顶点删除，且在加法 (1, ε·n) 近似下运行，从而实现完全动态支持。
• 通过下界构造表明：β = Θ(1/√β) 是实现 (1−ε)-近似的必要条件，意味着 β = Θ(1/ε²) 是紧致的。
• 该方法首次将加权 EDCS 应用于任意稠密图的动态匹配问题。