[论文解读] Incremental Sampling-based Algorithms for Optimal Motion Planning

Sertaç Karaman, Emilio Frazzoli|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Machine Learning and Algorithms被引用 4

一句话总结

本文提出RRT∗，一种基于增量采样的运动规划算法，通过在快速扩展随机树（RRT）基础上引入重连机制，实现了渐近最优性——即随着采样次数增加，路径代价收敛至最优。与标准RRT不同，后者收敛至次优解，RRT∗在保持树结构的同时确保收敛至真实最优解，其计算复杂度渐近地处于RRT的常数倍范围内。

ABSTRACT

During the last decade, incremental sampling-based motion planning algorithms, such as the Rapidly-exploring Random Trees (RRTs) have been shown to work well in practice and to possess theoretical guarantees such as probabilistic completeness. However, no theoretical bounds on the quality of the solution obtained by these algorithms have been established so far. The first contribution of this paper is a negative result: it is proven that, under mild technical conditions, the cost of the best path in the RRT converges almost surely to a non-optimal value. Second, a new algorithm is considered, called the Rapidly-exploring Random Graph (RRG), and it is shown that the cost of the best path in the RRG converges to the optimum almost surely. Third, a tree version of RRG is introduced, called the RRT$^*$ algorithm, which preserves the asymptotic optimality of RRG while maintaining a tree structure like RRT. The analysis of the new algorithms hinges on novel connections between sampling-based motion planning algorithms and the theory of random geometric graphs. In terms of computational complexity, it is shown that the number of simple operations required by both the RRG and RRT$^*$ algorithms is asymptotically within a constant factor of that required by RRT.

研究动机与目标

• 解决增量采样运动规划器（如RRT）在解质量上缺乏理论保证的问题。
• 证明在较弱条件下，标准RRT几乎必然收敛至非最优解。
• 提出一种新算法RRG，通过保持图结构实现渐近最优性。
• 设计一种基于树的变体RRT∗，在继承RRG最优性的同时保留RRT的树结构，适用于实际应用。
• 证明RRT∗与RRG的计算复杂度渐近地处于RRT的常数倍范围内。

提出的方法

• 提出快速扩展随机图（RRG）算法，通过将新采样点连接到邻近顶点并重连边以优化路径代价，逐步构建图结构。
• 引入RRT∗算法作为RRG的树形变体，其中新节点连接到树中最近的节点，若发现更低代价路径则重连已有边。
• 利用随机几何图理论工具分析RRG与RRT∗的收敛特性，证明其几乎必然收敛至最优路径代价。
• 在RRT∗中应用概率性重连机制，检查将新采样点连接至父节点是否能改善后代节点的代价至目标。
• 证明每次迭代的期望重连次数有界，确保计算开销渐近地处于RRT的常数倍范围内。
• 通过在不同障碍物密度与维度的环境中进行大量仿真，验证理论结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 随着采样次数增加，标准RRT算法是否收敛至最优解？
• RQ2 能否设计一种采样算法，在保持树结构的同时实现渐近最优性？
• RQ3 与RRT相比，渐近最优采样运动规划器的计算复杂度如何？
• RQ4 能否利用随机几何图的理论性质证明收敛至最优路径代价？
• RQ5 RRT∗在路径质量与运行时间方面与RRT和RRG相比表现如何？

主要发现

• 在较弱技术条件下，标准RRT算法几乎必然收敛至非最优解，揭示了RRT的根本局限性。
• RRG算法实现了渐近最优性，即图中最佳路径的代价几乎必然随采样数增加而收敛至最优代价。
• RRT∗继承了RRG的渐近最优性，同时保持树结构，适用于实时与在线规划应用。
• RRT∗的计算复杂度渐近地处于RRT的常数倍范围内，意味着重连带来的开销有界且可扩展。
• 仿真结果表明，RRT∗的路径代价显著低于RRT——例如在某例中分别为14.51与21.02——且运行时间比保持相近。
• RRT∗的路径代价在多次试验中的方差随时间减小，表明其收敛至最优解具有稳定性。