[论文解读] Ind--varieties of generalized flags as homogeneous spaces for classical ind--groups

Ivan Dimitrov, Ivan Penkov|ArXiv.org|Mar 26, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文在无限维向量空间中引入了广义旗（generalized flags），即无需以整数为指标的链，并构建了 $E$-共轭广义旗的 ind-簇作为经典 ind-群 $SL(\infty)$、$SO(\infty)$ 和 $Sp(\infty)$ 的齐次空间的几何实现。关键贡献是通过广义旗对这些 ind-群的 $G/P$ 空间进行几何分类，完整计算了 Picard 群，并给出了一个投影性判别准则：当且仅当广义旗是标准旗时，ind-簇才是投影的。

ABSTRACT

The purpose of the present paper is twofold: to introduce the notion of a generalized flag in an infinite dimensional vector space $V$ (extending the notion of a flag of subspaces in a vector space), and to give a geometric realization of homogeneous spaces of the ind--groups $SL(\infty)$, $SO(\infty)$ and $Sp(\infty)$ in terms of generalized flags. Generalized flags in $V$ are chains of subspaces which in general cannot be enumerated by integers. Given a basis $E$ of $V$, we define a notion of $E$--commensurability for generalized flags, and prove that the set $\cFl (\cF, E)$ of generalized flags E$--commensurable with a fixed generalized flag $\cF$ in $V$ has a natural structure of an ind--variety. In the case when $V$ is the standard representation of $G = SL(\infty)$, all homogeneous ind--spaces $G/P$ for parabolic subgroups $P$ containing a fixed splitting Cartan subgroup of $G$, are of the form $\cFl (\cF, E)$. We also consider isotropic generalized flags. The corresponding ind--spaces are homogeneous spaces for $SO(\infty)$ and $Sp(\infty)$. As an application of the construction, we compute the Picard group of $\cFl (\cF, E)$ (and of its isotropic analogs) and show that $\cFl (\cF, E)$ is a projective ind--variety if and only if $\cF$ is a usual, possibly infinite, flag of subspaces in $V$.

研究动机与目标

• 将有限维向量空间中旗的经典概念推广到无限维情形，通过引入不以整数为指标的广义旗。
• 利用广义旗，为经典 ind-群 $SL(\infty)$、$SO(\infty)$ 和 $Sp(\infty)$ 构造齐次 ind-空间 $G/P$ 的几何实现。
• 定义广义旗之间的 $E$-共轭性，并赋予所有 $E$-共轭广义旗的集合自然的 ind-簇结构。
• 计算广义旗 ind-簇的 Picard 群，并建立其投影性的判别准则。
• 证明广义旗的 ind-簇是投影的，当且仅当该旗是标准旗（可能无限长）。

提出的方法

• 将广义旗定义为无限维向量空间 $V$ 中满足特定稠密性与邻接性条件的子空间链，且其指标集不一定是整数集。
• 通过 $V$ 的一个固定基 $E$ 定义广义旗之间的 $E$-共轭性，即两个旗仅在有限维子空间上不同。
• 将 ind-簇 $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ 构造为所有与固定广义旗 $\mathcal{F}$ $E$-共轭的广义旗的集合，并通过有限维旗簇的直接极限赋予其自然的 ind-簇结构。
• 证明所有齐次 ind-空间 $G/P$（其中 $G = SL(\infty)$、$SO(\infty)$ 或 $Sp(\infty)$，且 $P$ 为包含固定分裂 Cartan 子群的抛物子群）同构于某个广义旗 $\mathcal{F}$ 的 $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$。
• 在存在非退化对称或反对称形式时，定义正交与辛广义旗，并为 $SO(\infty)$ 和 $Sp(\infty)$ 构造相应的 ind-簇模型。
• 通过从 $\mathbb{Z}$-倍积到有限维近似 Picard 群的同态 $\varphi_n$ 和 $\varphi$，利用核分析计算 $\operatorname{Pic}(\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E))$ 和 $\operatorname{Pic}(\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},w,E))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过广义旗的 ind-簇几何实现经典 ind-群 $SL(\infty)$、$SO(\infty)$ 和 $Sp(\infty)$ 的齐次空间？
• RQ2 $E$-共轭广义旗的 ind-簇的 Picard 群结构如何？
• RQ3 在何种条件下，广义旗的 ind-簇是投影的？
• RQ4 $E$-共轭性如何实现对这些 ind-簇模型的分类？
• RQ5 广义旗的几何结构与所关联 ind-簇的投影性之间有何关系？

主要发现

• $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ 的 $E$-共轭广义旗的 ind-簇具有自然的 ind-簇结构，且每个齐次 ind-空间 $G/P$（$G = SL(\infty)$、$SO(\infty)$ 或 $Sp(\infty)$）都可实现为这种空间。
• $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ 的 Picard 群同构于 $\left(\prod_{F' \in \mathcal{F}'} \mathbb{Z} \gamma_{F'} \right) / \left( \mathbb{Z} \prod_{F' \in \mathcal{F}'} \gamma_{F'} \right)$，其结构与经典情形类似。
• 正交 ind-簇 $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},w,E)$ 的 Picard 群同构于 $\prod_{F' \in \mathcal{F}', F' \subset \tau(F')} \mathbb{Z} \gamma_{F'}$，其中 $\tau$ 为对偶对合。
• $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ 的 ind-簇是投影的，当且仅当 $\mathcal{F}$ 是标准旗，即指标集为良序集且具有连续后继与前驱的链。
• 若 $\mathcal{F}$ 为有限长度，则 $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ 不同构于任何其他长度的广义旗 $\mathcal{G}$ 的 $\mathcal{F}\ell(\mathcal{G},L)$，因为其 Picard 群不构同。
• 若 $\mathcal{F} = \{0 \subset F \subset V\}$，其中 $F$ 为无限维且在 $V$ 中余维无限，则 $\mathcal{F}\ell(\mathcal{F},E)$ 不同构于任何 Grassmannian $Gr(l;V)$。