[论文解读] Indefinite-metric quantum field theory and operator algebra

Katsunori Kawamura|ArXiv.org|Aug 3, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文提出一种系统方法，通过在场算符上引入一个新的对合 $*$，确定量子场论中不定度规结构。该方法使表示空间成为具有正定内积的希尔伯特空间 $({\mathcal{H}}, \langle\cdot|\cdot\rangle)$，随后通过与原始 $ atural$-对合一致的厄米形式，识别出克雷因空间结构。关键贡献在于构建了一个统一框架，用于分析 $\eta$-规范对易与反对易关系，且在异常对易关系及具有不定度规的场论等模型中给出了明确应用。

ABSTRACT

It is often inevitable to introduce an indefinite-metric space in quantum field theory. There is a problem to determine the metric structure of a given representation space of field operators. We show the systematic method to determine such indefinite-metric explicitly. At first, we choose a new involution $*$ of field operators instead of the original involution $\sdag$ such that there is a Hilbert space $({\cal H},)$ with the positive-definite metric $$ which is consistent with $*$. Next we find another hermitian form $(\cdot|\cdot)$ on ${\cal H}$ such that $({\cal H},(\cdot|\cdot))$ is a Krein space and $(\cdot|\cdot)$ is consistent with $\sdag$. We apply this method to various models and show that our results coincide with known results.

研究动机与目标

• 解决在量子场算符表示中出现不定度规时，确定度规结构的问题。
• 为不可避免出现不定度规的量子场论，提供一种系统化的方法以识别不定度规。
• 通过新的对合 $*$ 和与原始 $ atural$-对合一致的后续厄米形式 $(\cdot|\cdot)$，统一处理不定度规。
• 将该方法应用于已知模型，如异常对易关系和具有非标准统计的场论。
• 证明该方法能重现量子场论与算子代数中的已知结果。

提出的方法

• 在场算符上引入一个新的对合 $*$，使得表示空间成为具有正定内积的希尔伯特空间 $({\mathcal{H}}, \langle\cdot|\cdot\rangle)$。
• 在 $({\mathcal{H}}, \langle\cdot|\cdot\rangle)$ 上定义一个厄米形式 $(\cdot|\cdot)$，使得 $({\mathcal{H}}, (\cdot|\cdot))$ 成为与原始 $ atural$-对合一致的克雷因空间。
• 利用算符 $\eta$（在 $({\mathcal{H}}, \langle\cdot|\cdot\rangle)$ 上的自伴酉算符）定义 $\eta$-规范对易与反对易关系（$\eta$-CCRs 和 $\eta$-CARs）。
• 通过 $ (v|w) = \langle v|\eta w\rangle $ 构造度规，其中 $\eta$ 引入基本对称性，并将 $\mathcal{H}$ 分解为正定与负定子空间 $\mathcal{H}_+ \oplus \mathcal{H}_-$。
• 将 $\eta$-CCRs 和 $\eta$-CARs 形式化为算子关系：$[a(f), a^\dagger(g)] = \langle f|\eta g\rangle I$ 与 $\{a(f), a^\dagger(g)\} = \langle f|\eta g\rangle I$，分别对应。
• 将该框架应用于模型，如两分量场论中 $\eta = I \otimes \eta_0$，得到分布型 $\eta$-CCRs，其中 $\eta(p,q) = \delta(p-q) \otimes \eta_0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地确定量子场算符表示空间中的不定度规结构？
• RQ2 真空的选择与代数关系（如异常对易关系）在诱导不定度规中起什么作用？
• RQ3 即使原始度规为不定度规，能否通过新对合 $*$ 一致地引入正定希尔伯特空间结构？
• RQ4 $\eta$-规范对易与反对易关系在不定度规设定下如何推广标准 CCRs 与 CARs？
• RQ5 所提出的方法在多大程度上能重现量子场论与算子代数中的已知结果？

主要发现

• 该方法成功通过新对合 $*$ 在表示空间上识别出正定内积 $\langle\cdot|\cdot\rangle$，使空间成为希尔伯特空间。
• 通过 $ (v|w) = \langle v|\eta w\rangle $ 构造出厄米形式 $(\cdot|\cdot)$，使 $({\mathcal{H}}, (\cdot|\cdot))$ 成为与原始 $\dagger$-对合一致的克雷因空间。
• 对于异常对易关系，该方法确认 $ (a^*\Omega|a^*\Omega) = - (\Omega|\Omega) < 0 $，从而生成不定度规。
• 对于异常反对易关系，该方法表明 $ ((a+a^*)v|(a+a^*)v) = - (v|v) < 0 $，证明不定度规的出现与真空选择无关。
• 该框架重现了已知结果：例如，在两分量场模型中，$ \eta(p,q) = \delta(p-q) \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $，产生分布型 $\eta$-CCRs。
• 该方法推广了标准 CCRs 与 CARs：当 $\eta = I$ 时，$\eta$-CCRs 与 $\eta$-CARs 分别退化为标准 CCRs 与 CARs。