[论文解读] Indefinite Sturm-Liouville operators $ (\sgn x) (- \frac{d^2}{dx^2} +q(x))$ with finite-zone potentials

Illya M. Karabash, M. M. Malamud|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用 13

一句话总结

本文研究了形如 $ A = (\operatorname{sgn}x)(-d^2/dx^2 + q(x)) $ 的不定 Sturm-Liouville 算子与自伴算子或正规算子之间的相似性，特别关注 $ q(x) $ 为有限频带势的情形。通过 Weyl 函数和加权 Hilbert 变换估计，建立了相似性的必要与充分条件，表明当且仅当 Weyl 函数满足特定的积分条件和 $ L^\infty $ 有界性条件时，$ A $ 与自伴算子相似，并为单频带势导出了显式判据。

ABSTRACT

The indefinite Sturm-Liouville operator $A = (\sgn x)(-d^2/dx^2+q(x))$ is studied. It is proved that similarity of $A$ to a selfadjoint operator is equivalent to integral estimates of Cauchy integrals. Also similarity conditions in terms of Weyl functions are given. For operators with a finite-zone potential, the components $\Aess$ and $\Adisc$ of $A$ corresponding to essential and discrete spectrums, respectively, are considered. A criterion of similarity of $\Aess$ to a selfadjoint operator is given in terms of Weyl functions for the Sturm-Liouville operator $-d^2/dx^2+q(x)$ with a finite-zone potential $q$. Jordan structure of the operator $\Adisc$ is described. We present an example of the operator $A = (\sgn x)(-d^2/dx^2+q(x))$ such that $A$ is nondefinitizable and $A$ is similar to a normal operator.

研究动机与目标

• 确定不定 Sturm-Liouville 算子 $ A = (\operatorname{sgn}x)(-d^2/dx^2 + q(x)) $ 与自伴算子相似的条件。
• 分析 $ A $ 的谱分解为本质谱与离散谱分量，特别针对有限频带势的情形。
• 利用与 Sturm-Liouville 算子在正负半轴上的扩张相关的 Weyl 函数，建立相似性的必要与充分条件。
• 研究离散谱分量 $ A_{\text{disc}} $ 的若尔当代数结构，并给出与正规算子相似的非 definitizable 算子的例子。
• 探讨加权范数不等式与 Hilbert 变换估计在刻画与自伴算子相似性中的作用。

提出的方法

• 将算子 $ A $ 视为最小对称算子 $ A_{\min} = L^+_{\min} \oplus (-L^-_{\min}) $ 的非自伴扩张，其中 $ L^\pm_{\min} $ 是在 $ \mathbb{R}_\pm $ 上的最小 Sturm-Liouville 算子。
• 为 Nevanlinna 扩张 $ L^\pm_N $ 关联 Weyl 函数 $ M_+(\lambda) = m_+(\lambda) $ 和 $ M_-(\lambda) = -m_-(\lambda) $，用于刻画 $ A $ 的谱行为。
• 将 $ A $ 与自伴算子的相似性联系到上半平面 $ \mathbb{C}_+ $ 中比值 $ \frac{M_+(\lambda) + M_-(\lambda)}{M_+(\lambda) - M_-(\lambda)} $ 的有界性，以及在 $ \mathbb{R} $ 上 $ \frac{\operatorname{Im}M_+(t) + \operatorname{Im}M_-(t)}{M_+(t) - M_-(t)} $ 的 $ L^\infty $ 有界性。
• 推导了 Hilbert 变换的加权 $ L^2 $ 估计，从而得出相似性的必要条件，例如涉及谱测度和 $ g^\pm \cdot d\Sigma_\pm $ 的 Hilbert 变换的积分不等式 (1.2)。
• 通过底层自伴算子 $ L = -d^2/dx^2 + q(x) $ 的 Weyl 函数分析本质谱分量 $ A_{\text{ess}} $，并建立了其与自伴算子相似的判据。
• 构造了具有单频带势 $ q_1, q_2, q_3 $ 的显式例子，以证明条件的紧致性，包括 $ A $ 虽为非 definitizable 但仍与正规算子相似的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，不定 Sturm-Liouville 算子 $ A = (\operatorname{sgn}x)(-d^2/dx^2 + q(x)) $ 与自伴算子相似？
• RQ2 正负半轴扩张的 Weyl 函数 $ M_+(\lambda) $ 和 $ M_-(\lambda) $ 如何决定 $ A $ 的谱性质与相似性？
• RQ3 离散谱分量 $ A_{\text{disc}} $ 的若尔当代数结构是什么，它如何影响 $ A $ 与自伴或正规算子的相似性？
• RQ4 当 $ A $ 为非 definitizable 时，是否仍可能与正规算子相似？何种条件可确保这一点？
• RQ5 加权 Hilbert 变换估计与积分条件（如 (1.2)）如何与 $ A $ 的相似性问题相关联？

主要发现

• 当且仅当 Weyl 函数 $ M_+ $ 和 $ M_- $ 满足条件 $ \sup_{\lambda \in \mathbb{C}_+} \left| \frac{M_+(\lambda) + M_-(\lambda)}{M_+(\lambda) - M_-(\lambda)} \right| < \infty $ 时，算子 $ A $ 与自伴算子相似。
• 对于单频带势 $ q_2(x) $，当 $ k^2 \leq \frac{1}{2} $ 时，$ A(\xi, q_2) $ 与自伴算子相似当且仅当 $ \xi \in [-\frac{1}{2}, -k^2] \cup [0, \infty) $；当 $ k^2 > \frac{1}{2} $ 时，当且仅当 $ \xi \geq 0 $。
• 即使 $ A $ 为非 definitizable，它仍可能与正规算子相似，如例 7.3 中 $ q_3 $ 的情形所示，其中 $ A(\xi, q_3) $ 有两个单重的非实特征值，但仍与正规算子相似。
• 条件 $ \frac{\operatorname{Im}M_+(t) + \operatorname{Im}M_-(t)}{M_+(t) - M_-(t)} \in L^\infty(\mathbb{R}) $ 是与自伴算子相似的必要条件，而更强的条件 (1.5) 是充分条件。
• 涉及 $ g^\pm \cdot d\Sigma_\pm $ 的 Hilbert 变换的积分估计 (1.2) 提供了相似性的必要条件，且在假设 $ \sigma_{\text{disc}}(A) = \emptyset $ 下，猜想其亦为充分条件。
• 例 7.1 表明条件 (1.5) 并非相似性的必要条件，因为即使在特征值 $ \lambda_\pm(\xi) $ 附近比值无界，当 $ \xi > 0 $ 时 $ A(\xi, q_1) $ 仍与自伴算子相似。