[论文解读] Independent Set, Induced Matching, and Pricing: Connections and Tight (Subexponential Time) Approximation Hardnesses

Parinya Chalermsook, Bundit Laekhanukit+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 46被引用 8

一句话总结

本文通过建立三类基础 NP-难问题——最大独立集、诱导匹配和 k-超图定价——之间的一种新颖联系，确立了近乎紧致的亚指数时间不可近似性结果。在指数时间假设（ETH）下，证明了对于最大独立集问题，任何 r-近似算法的运行时间均无法低于 2^{n^{1−ε}/r^{1+ε}}，几乎匹配目前已知的最佳上界；类似地，也建立了 k-超图定价和有界度双分图上诱导匹配问题的近似最优下界。

ABSTRACT

We present a series of almost settled inapproximability results for three fundamental problems. The first in our series is the subexponential-time inapproximability of the maximum independent set problem, a question studied in the area of parameterized complexity. The second is the hardness of approximating the maximum induced matching problem on bounded-degree bipartite graphs. The last in our series is the tight hardness of approximating the k-hypergraph pricing problem, a fundamental problem arising from the area of algorithmic game theory. In particular, assuming the Exponential Time Hypothesis, our two main results are: - For any r larger than some constant, any r-approximation algorithm for the maximum independent set problem must run in at least 2^{n^{1-ε}/r^{1+ε}} time. This nearly matches the upper bound of 2^{n/r} (Cygan et al., 2008). It also improves some hardness results in the domain of parameterized complexity (e.g., Escoffier et al., 2012 and Chitnis et al., 2013) - For any k larger than some constant, there is no polynomial time min (k^{1-ε}, n^{1/2-ε})-approximation algorithm for the k-hypergraph pricing problem, where n is the number of vertices in an input graph. This almost matches the upper bound of min (O(k), ilde O(\sqrt{n})) (by Balcan and Blum, 2007 and an algorithm in this paper). We note an interesting fact that, in contrast to n^{1/2-ε} hardness for polynomial-time algorithms, the k-hypergraph pricing problem admits n^δ approximation for any δ>0 in quasi-polynomial time. This puts this problem in a rare approximability class in which approximability thresholds can be improved significantly by allowing algorithms to run in quasi-polynomial time.

研究动机与目标

• 在指数时间假设（ETH）下，为最大独立集问题在亚指数时间内建立近乎紧致的不可近似性界。
• 证明在有界度双分图上诱导匹配问题的强近似不可行性。
• 解决 k-超图定价问题的近似可解性阈值，表明在多项式时间内存在近乎最优的不可近似性。
• 通过新颖的归约和联系，统一并强化三类不同问题的不可近似性结果。
• 探索准多项式时间算法在改进对抵抗多项式时间近似算法的问题的近似比方面的作用。

提出的方法

• 通过精心组合现有 PCP 组件，构建一种近乎线性大小、稀疏且具有高阶数和小自由位复杂度的 PCP。
• 通过一种与诱导匹配数相关的新型图论性质，建立独立集与诱导匹配问题之间的紧密联系。
• 使用一种专门设计的图变换，将独立集问题归约为诱导匹配问题，同时保持近似比不变。
• 通过从半诱导匹配问题的归约，将独立集问题的亚指数时间不可近似性转移至 k-超图定价问题。
• 设计一种准多项式时间 O(n^δ)-近似算法用于 k-超图定价，表明随着运行时间增加，近似阈值可显著改善。
• 利用价格阶梯约束和舍入技术，设计出时间复杂度为 O((log nm)^n poly(n,m)) 的常数因子近似算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在指数时间假设下，最大独立集问题的亚指数时间不可近似性是否可进一步收紧？
• RQ2 k-超图定价问题在多项式时间内可实现的最佳近似比是多少？
• RQ3 在有界度双分图上，诱导匹配问题的近似可解性与独立集问题及定价问题的近似可解性有何关联？
• RQ4 准多项式时间算法是否能显著改善对抵抗多项式时间近似算法的问题的近似比？
• RQ5 证明这些问题的亚指数时间不可近似性是否必须依赖 ETH，还是较弱的假设已足够？

主要发现

• 在指数时间假设下，任何 r-近似算法求解最大独立集问题，其时间复杂度至少为 2^{n^{1−ε}/r^{1+ε}}（对任意 r > 某常数），几乎匹配 2^{n/r} 的最佳上界。
• 在 ETH 下，k-超图定价问题不存在多项式时间 min{k^{1−ε}, n^{1/2−ε}}-近似算法，几乎匹配目前已知的最佳上界 min{O(k), Õ(√n)}。
• 在 ETH 假设下，d-度有界双分图上的诱导匹配问题在多项式时间内无法实现 n^{1/2−ε} 的近似。
• k-超图定价问题在准多项式时间内可实现 O(n^δ)-近似（对任意 δ > 0），表明多项式时间与准多项式时间之间的近似可解性存在显著差距。
• 存在一种时间复杂度为 O((log nm)^n poly(n,m)) 的常数因子近似算法用于 k-超图定价，其近似比为 O(α²/(α−1))（对任意 α > 1）。
• 本文展示了准多项式时间能显著提升近似比的罕见情形，凸显了一种类别的独特近似可解性。