[论文解读] Independent Set on P$_k$-Free Graphs in Quasi-Polynomial Time

Peter Gartland, Daniel Lokshtanov|arXiv (Cornell University)|May 2, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用 5

一句话总结

本论文提出了首个针对任意固定 $k$ 的 $P_k$-free 图上加权独立集问题的准多项式时间算法，时间复杂度为 $n^{O(k^2 /\log^3 n)}$。该方法基于对高degree顶点的迭代分支，并利用结构分解，解决了Thomassé提出的一个开放问题，为该问题在 $P_k$-free 图上并非 NP 完全提供了强有力证据。

ABSTRACT

We present an algorithm that takes as input a graph $G$ with weights on the vertices, and computes a maximum weight independent set $S$ of $G$. If the input graph $G$ excludes a path $P_k$ on $k$ vertices as an induced subgraph, the algorithm runs in time $n^{O(k^2 \log^3 n)}$. Hence, for every fixed $k$ our algorithm runs in quasi-polynomial time. This resolves in the affirmative an open problem of [Thomassé, SODA'20 invited presentation]. Previous to this work, polynomial time algorithms were only known for $P_4$-free graphs [Corneil et al., DAM'81], $P_5$-free graphs [Lokshtanov et al., SODA'14], and $P_6$-free graphs [Grzesik et al., SODA'19]. For larger values of $t$, only $2^{O(\sqrt{kn\log n})}$ time algorithms [Bascó et al., Algorithmica'19] and quasi-polynomial time approximation schemes [Chudnovsky et al., SODA'20] were known. Thus, our work is the first to offer conclusive evidence that Independent Set on $P_k$-free graphs is not NP-complete for any integer $k$. Additionally we show that for every graph $H$, if there exists a quasi-polynomial time algorithm for Independent Set on $C$-free graphs for every connected component $C$ of $H$, then there also exists a quasi-polynomial time algorithm for {\sc Independent Set} on $H$-free graphs. This lifts our quasi-polynomial time algorithm to $T_k$-free graphs, where $T_k$ has one component that is a $P_k$, and $k-1$ components isomorphic to a fork (the unique $5$-vertex tree with a degree $3$ vertex).

研究动机与目标

• 解决Thomassé（SODA'20）提出的关于 $P_k$-free 图上独立集问题是否存在准多项式时间算法的开放问题。
• 将独立集问题在多项式时间可解的边界从 $P_6$-free 图扩展至更广范围，其中先前的算法在 $k \geq 8$ 时失效。
• 通过实现准多项式时间复杂度，为独立集在 $P_k$-free 图上极不可能是 NP 完全问题提供确凿证据。
• 将结果推广至 $T_k$-free 图，其中 $T_k$ 由一个 $P_k$ 和 $k-1$ 个不相交的分叉（forks）组成，使用该算法作为子程序。

提出的方法

• 该算法采用基于高degree顶点的递归分支策略，由一个衡量 $\mu$ 指导，用于追踪潜在的分支深度。
• 通过引入涉及 $\mu[1 - 1/(8|H|^2 \cdot |\mathcal{CC}(H)| \cdot \log^2 \mu)]$ 的递推不等式，对分支步骤进行精细化分析，以限制递归树的大小。
• 该方法依赖于一个关键引理，表明递推关系 $T_H(\mu) \leq T_H(\mu-1) + \mu^{O(1)} + 2T_H(\mu[1 - 1/(8|H|^2 \cdot |\mathcal{CC}(H)| \cdot \log^2 \mu)])$ 可导出准多项式时间复杂度。
• 通过将 $P_k$-free 图的算法与已知的分叉图（fork-free graphs）的多项式时间算法相结合，将算法扩展至 $T_k$-free 图。
• 使用结构分解确保每次递归调用均减小问题规模，同时保持 $H$-free 性质。
• 分析中利用了连通分量数 $|\mathcal{CC}(H)|$ 和禁止图大小 $|H|$，以限制时间复杂度中的指数部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对所有 $k$ 在 $P_k$-free 图上以准多项式时间求解独立集问题？
• RQ2 若 $P_k$-free 图上存在准多项式时间算法，是否意味着该问题在这些图类上并非 NP 完全？
• RQ3 该算法框架能否扩展至更复杂的 $H$-free 图（其中 $H$ 具有多重连通分量）？
• RQ4 是否存在 $P_k$-free 图的某种结构特性，使得即使先前方法在 $k \geq 8$ 时失效，仍能实现准多项式时间解法？

主要发现

• 本文提出了一个针对 $P_k$-free 图上加权独立集问题的准多项式时间算法，对任意固定 $k$，时间复杂度为 $n^{O(k^2 \log^3 n)}$。
• 该结果解决了Thomassé（SODA’20）提出的一个开放问题，首次为 $k > 6$ 的 $P_k$-free 图提供了此类算法。
• 该结果为独立集在 $P_k$-free 图上并非 NP 完全提供了强有力证据，因为该问题可在准多项式时间内求解。
• 该算法被扩展至 $T_k$-free 图，其中 $T_k$ 由一个 $P_k$ 和 $k-1$ 个不相交的分叉组成，时间复杂度为 $n^{O(k^3 \log^3 n)}$。
• 本文证明：若对图 $H'$ 的每个连通分量 $H$，$H$-free 图上均存在准多项式时间算法，则 $H'$-free 图上也存在此类算法，从而实现了向 $T_k$-free 图的推广。
• 分析表明，递归树的大小被限制在 $\mu^{O(|H|^2 \cdot |\mathcal{CC}(H)| \cdot \log^3 \mu)}$，从而得出最终的准多项式时间界。