[论文解读] Independent sets and cuts in large-girth regular graphs

Endre Csóka|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 17

一句话总结

本文提出一种局部算法，在大圈长3-正则图中构造出期望大小为0.44533n的独立集，在大圈长4-正则图中构造出期望大小为0.40407n的独立集，优于目前已知的下界。此外，通过改进应用Hoppen-Wormald方法并结合额外的结构观察，该算法在3-正则图中构造出大小为1.34105n的割，显著缩小了已知上下界之间的差距。

ABSTRACT

We present a local algorithm producing an independent set of expected size $0.44533n$ on large-girth 3-regular graphs and $0.40407n$ on large-girth 4-regular graphs. We also construct a cut (or bisection or bipartite subgraph) with $1.34105n$ edges on large-girth 3-regular graphs. These decrease the gaps between the best known upper and lower bounds from $0.0178$ to $0.01$, from $0.0242$ to $0.0123$ and from $0.0724$ to $0.0616$, respectively. We are using local algorithms, therefore, the method also provides upper bounds for the fractional coloring numbers of $1 / 0.44533 \approx 2.24554$ and $1 / 0.40407 \approx 2.4748$ and fractional edge coloring number $1.5 / 1.34105 \approx 1.1185$. Our algorithms are applications of the technique introduced by Hoppen and Wormald.

研究动机与目标

• 缩小大圈长大正则图中独立比和割大小的已知上下界之间的差距。
• 开发一种适用于所有大圈长大正则图（而不仅限于随机图）的构造性局部算法。
• 改进3-正则图和4-正则图中独立比的最优已知下界。
• 通过Hoppen-Wormald方法的改进版本，提升3-正则图中最大割大小的界。
• 从改进的独立集和割构造结果中推导出新的分数染色和边染色界。

提出的方法

• 本文使用配置模型，通过一种局部的、常数时间的分布式算法，同时构造随机正则图和独立集。
• 应用一种新颖的变换规则，将具有特定颜色模式的三个顶点路径进行收缩，以保持独立性并提升期望大小。
• 在白色顶点上使用颜色翻转机制，以维持对称性，并在过程中增加属于割的好边数量。
• 该方法涉及求解描述存活图中组件动态的微分方程组，追踪如[R]、[G]、[W]和[RR]等类型。
• 观察3允许将三个红色顶点替换为一个红色顶点，使好边增加3条，坏边增加1条，从而提升割的大小。
• 算法在处理组件时使用优先规则，并在需要时查询邻居，以保持红色与绿色通道之间的对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部算法能否在大圈长3-正则图中实现高于先前已知界限的独立比？
• RQ2 在大圈长3-正则图中，使用构造性局部方法可实现的最大割大小是多少？
• RQ3 在3-和4-正则图中，独立比和割大小的上下界之间的差距最多能缩小多少？
• RQ4 能否通过引入结构观察，进一步增强Hoppen-Wormald方法以提升界？
• RQ5 从改进的独立集和割构造中，可推导出哪些新的分数染色和边染色界？

主要发现

• 该算法在大圈长3-正则图中实现了期望独立集大小为0.44533n，优于先前最优的0.43757。
• 对于4-正则图，该方法得到的独立集期望大小为0.40407n，优于先前最优的0.39213。
• 在3-正则图中构造出大小为1.34105n的割，使已知上下界之间的差距从0.0724缩小至0.0616。
• 3-正则图的分数色数上界约为2.24554，4-正则图的分数色数上界约为2.4748。
• 3-正则图的分数边色数上界约为1.1185。
• 这些结果基于对存活图中组件演化建模的微分方程组的数值稳定计算推导得出。