[论文解读] Independent Sets in Vertex-Arrival Streams

Graham Cormode, Jacques Dark+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文研究了在顶点到达图流中近似最大独立集（MIS）的空间复杂度，表明显式顶点流需要 Ω(n²/c⁷) 空间才能实现 c-近似，这使得 MIS 比在边到达模型中困难得多。本文引入了一种与指针跳跃相关的新型多参与者通信问题，以证明强下界，并在显式与隐式顶点流模型下，为几何交集图（如单位正方形和区间）建立了改进的上下界。

ABSTRACT

We consider the maximal and maximum independent set problems in three models of graph streams: - In the edge model we see a stream of edges which collectively define a graph; this model is well-studied for a variety of problems. We show that the space complexity for a one-pass streaming algorithm to find a maximal independent set is quadratic (i.e. we must store all edges). We further show that it is not much easier if we only require approximate maximality. This contrasts strongly with the other two vertex-based models, where one can greedily find an exact solution in only the space needed to store the independent set. - In the "explicit" vertex model, the input stream is a sequence of vertices making up the graph. Every vertex arrives along with its incident edges that connect to previously arrived vertices. Various graph problems require substantially less space to solve in this setting than in edge-arrival streams. We show that every one-pass c-approximation streaming algorithm for maximum independent set (MIS) on explicit vertex streams requires Omega({n^2}/{c^6}) bits of space, where n is the number of vertices of the input graph. It is already known that Theta~({n^2}/{c^2}) bits of space are necessary and sufficient in the edge arrival model (Halldórsson et al. 2012), thus the MIS problem is not significantly easier to solve under the explicit vertex arrival order assumption. Our result is proved via a reduction from a new multi-party communication problem closely related to pointer jumping. - In the "implicit" vertex model, the input stream consists of a sequence of objects, one per vertex. The algorithm is equipped with a function that maps pairs of objects to the presence or absence of edges, thus defining the graph. This model captures, for example, geometric intersection graphs such as unit disc graphs. Our final set of results consists of several improved upper and lower bounds for interval and square intersection graphs, in both explicit and implicit streams. In particular, we show a gap between the hardness of the explicit and implicit vertex models for interval graphs.

研究动机与目标

• 理解在顶点到达图流模型中寻找近似最大独立集（MIS）的空间复杂度，特别是显式和隐式顶点流中的情况。
• 比较顶点到达模型与经典边到达模型中 MIS 的难度，其中顶点模型允许使用亚二次空间的贪心算法。
• 缩小几何交集图（如单位正方形、区间）在顶点流设置下的已知上下界之间的差距。
• 开发新的通信复杂度工具——特别是 INDEX 问题的多参与者推广——以证明 MIS 近似结果的难解性。
• 考察几何结构（如单位圆盘、区间）是否能带来比一般图更优的空间效率，用于 MIS 近似。

提出的方法

• 将 MIS 近似问题约化为一种新型多参与者通信问题，该问题与指针跳跃密切相关，利用 Ruzsa-Szemerédi 图构造实现近似最大性。
• 采用一维和二维中球体（或区间）的几何构造，将位向量编码到多个参与方之间，其中独立集对应于通信问题的解。
• 在困难实例图中使用擦除码来限制团的大小，并确保仅特定的位组合能产生大的独立集。
• 在二维中应用打包论证，表明 MIS 大小可用于恢复编码信息，从而通过通信复杂度推导出下界。
• 设计显式流算法用于几何图（如单位正方形），通过条带分解和权重类舍入实现 (3+ǫ)-近似，空间复杂度为 ˜O(α(G)/ǫ)。
• 通过将权重四舍五入为 (1+ǫ) 的幂次，并在每条带中仅追踪 ˜O(ǫ⁻¹) 个权重类，将构造扩展至加权 MIS，实现 (3+ǫ)-近似，空间复杂度为 ˜O(log W + α(G)/ǫ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在显式顶点流中，c-近似 MIS 的空间复杂度与边到达流相比如何？
• RQ2 是否能通过通信复杂度框架证明显式顶点流中 MIS 的难解性，以及需要哪些新原原子？
• RQ3 在显式和隐式顶点模型下，对单位正方形或单位区间的流，近似 MIS 的最紧上下界是什么？
• RQ4 交集图的几何结构（如单位圆盘、区间）是否允许存在 o(α(G)) 空间的常数因子 MIS 近似算法？
• RQ5 能否将单位正方形流中 MIS 的近似因子改进至 3 以下，以及实现更好近似所需的最小空间是多少？

主要发现

• 在边到达流中寻找最大独立集需要 Ω(n²) 空间，即使仅要求近似最大性，表明边模型在本质上比顶点模型更困难。
• 对于显式顶点流，c-近似 α(G) 需要 Ω(n²/c⁷) 空间，远超顶点模型中用于精确 MIS 的 ˜O(α(G)) 空间，表明显式顶点流中 MIS 并未显著更简单。
• 对于隐式顶点流中的单位正方形，可在 ˜O(α(G)/ǫ) 空间内实现 (3+ǫ)-近似，但任何优于 5/2-近似的算法都需要 Ω(n) 空间。
• 在显式顶点流中，单位区间图的近似因子若优于 5/3，则需要 Ω(n) 空间，表明其比隐式流变体更困难。
• 本文构建了一个基于球体排列的三参与者通信问题，其中 MIS 大小编码了联合计算的结果，证明任何近似因子优于 5/2 的算法必须使用 Ω(n) 空间。
• 对于具有任意大小正方形的二维几何图，本文未解决是否存在常数因子近似，也未解决单位正方形的上下界差距是否可被缩小。