[论文解读] Index and Spectral Theory for Manifolds with Generalized Fibred Cusps

Boris Vaillant|ArXiv.org|Feb 8, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 47

一句话总结

本文利用 $φ$-微分法，为具有广义纤维化截锥的流形上的狄拉克算子发展了指标理论与谱理论。通过构造预解式与热核的亚纯延拓，证明了一个显式的 $L^2$-指标公式，其中包含无穷远处垂直与水平狄拉克算子的 $η$-不变量，将 Müller 在秩一局部对称空间上的工作推广至具有纤维化截锥几何的非局部对称空间。

ABSTRACT

Generalizing work of W. Müller we investigate the spectral theory for the Dirac operator D on a noncompact manifold X with generalized fibred cusps $$ C(M)=M imes [A,\infty[_r, g= d r^2+ ϕ^*g_Y+ e^{-2cr}g_Z, $$ at infinity. Here $ϕ:M^{h+v} o Y^h$ is a compact fibre bundle with fibre Z and a distinguished horizontal space HM. The metric $g_Z$ is a metric in the fibres and $g_Y$ is a metric on the base of the fibration. We also assume that the kernel of the vertical Dirac operator at infinity forms a vector bundle over $Y$. Using the ``$ϕ$-calculus'' developed by R. Mazzeo and R. Melrose we explicitly construct the meromorphic continuation of the resolvent $G(λ)$ of D for small spectral parameter as a special ``conormal distribution''. From this we deduce a description of the generalized eigensections and of the spectral measure of D. Complementing this, we perform an explicit construction of the heat kernel $[\exp(-tD^2)]$ for finite and small times t, corresponding to large spectral parameter $λ$. Using a generalization of Getzler's technique, due to R. Melrose, we can describe the singular terms in the heat kernel expansion and prove an index formula for D, calculating the extended $L^2$-index of D in terms of the usual local expression, the family eta invariant for the family of vertical Dirac operators at infinity and the eta invariant for the horizontal ``Dirac'' operator at infinity.

研究动机与目标

• 将狄拉克算子的谱理论与指标理论推广至具有广义纤维化截锥结构的非紧致流形，推广 Müller 在秩一局部对称空间上的结果。
• 利用 $φ$-微分法与共法线分布，为这类流形上的预解式与热核建立严格的分析框架。
• 以局部曲率不变量、垂直狄拉克算子族的 $η$-不变量，以及无穷远处水平狄拉克算子的 $η$-不变量，导出狄拉克算子的显式 $L^2$-指标公式。
• 在 $φ$-微分法框架下，确立狄拉克算子及其逆算子的映射性质，实现谱分解与预解分析。

提出的方法

• 作者使用 $x = e^{-cr}$ 作为边界定义函数，对具有截锥无穷远边界的流形进行紧化，将度量转化为退化的 $φ$-度量 $g_d$。
• $φ$-微分法被用于定义 $φ$-微分算子与 $φ$-伪微分算子，从而实现对紧化空间上狄拉克算子 ${\tt D}^d$ 的分析。
• 通过 $φ$-微分法中的符号方法，对预解式 $G(\lambda)$ 进行亚纯延拓，其中前表面（ff）的法算子起核心作用。
• 利用双尺度缩放技术与 $d$-热核微分法，对小时间 $t$ 构造热核 $\exp(-t{\tt D}^2)$，实现边界附近与内部的渐近展开。
• 通过结合热核展开与适配于 $φ$-微分法的 Getzler 缩放技术，分离空间无穷远处与内部的奇异项，推导出指标公式。
• 构造过程中使用共法线分布与指标集，描述广义特征截面与谱测度的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 狄拉克算子的谱理论如何被推广至超越局部对称空间的广义纤维化截锥流形？
• RQ2 在此几何设定下，狄拉克算子的预解式 $G(\lambda)$ 的亚纯延拓的精确形式为何？
• RQ3 热核展开在小时间下行为如何，特别是靠近纤维化边界与内部时？
• RQ4 狄拉克算子的 $L^2$-指标在截锥几何的几何与拓扑不变量下具有何种结构？
• RQ5 能否导出一个显式指标公式，其中包含垂直狄拉克算子族的 $η$-不变量与无穷远处水平狄拉克算子的 $η$-不变量？

主要发现

• 在 $φ$-微分法框架下，狄拉克算子 ${\tt D}^d$ 的预解式 $G(\lambda)$ 在 $\lambda = 0$ 的邻域内可亚纯延拓为共法线分布。
• 狄拉克算子 ${\tt D}^d$ 的广义特征截面与谱测度完全由预解式及其极点的结构所刻画。
• 利用 $d$-热核微分法与双尺度缩放，对小时间 $t$ 显式构造了热核 $\exp(-t{\tt D}^2)$，并分离出前表面（ff）与纤维化边界（bf）处的奇异项。
• 狄拉克算子的 $L^2$-指标通过如下指标公式计算： $${\rm ind}_{-}({\tt D})=\frac{1}{(2\pi i)^{n/2}}\int_{X}\widehat{A}(R)\mathop{\,\rm Ch}\nolimits(F^{E/S})+\frac{1}{(2\pi i)^{(h+1)/2}}\int_{Y}\widehat{A}(R^{Y})\widehat{\eta}({\tt D}^{V})+\frac{1}{2}\eta({\tt D}_{Y}),$$ 该公式结合了局部 $φ$-特征类、垂直狄拉克算子族的 $η$-不变量，以及无穷远处水平狄拉克算子的 $η$-不变量。
• ${\tt D}^d$ 的映射性质在 $φ$-微分法中被完全刻画：其将 $\mathcal{A}^{[\circ]I}(X,E)$ 映射至 $\mathcal{A}^{I}(X,E)$，并对零模态的主导项实现控制。
• 在 $b$-纤维化下，共法线函数的拉回与前推被严格定义，从而通过符号与渐近方法实现热核与预解式的构造。