[论文解读] Index estimates for free boundary minimal hypersurfaces

Lucas Ambrozio, Alessandro Carlotto+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 10

一句话总结

本文建立了欧氏空间中严格均曲率凸区域内的适当嵌入自由边界极小超曲面的莫尔斯指数的精确下界，表明该下界随第一相对同调群的维数线性增长。关键结果在曲率与凸性条件下可推广至一般黎曼流形，从而在凸区域中实现极小曲面的强紧致性与指数估计。

ABSTRACT

We show that the Morse index of a properly embedded free boundary minimal hypersurface in a strictly mean convex domain of the Euclidean space grows linearly with the dimension of its first relative homology group (which is at least as big as the number of its boundary components, minus one). In ambient dimension three, this implies a lower bound for the index of a free boundary minimal surface which is linear both with respect to the genus and the number of boundary components. Thereby, the compactness theorem by Fraser and Li implies a strong compactness theorem for the space of free boundary minimal surfaces with uniformly bounded Morse index inside a convex domain. Our estimates also imply that the examples constructed, in the unit ball, by Fraser-Schoen and Folha-Pacard-Zolotareva have arbitrarily large index. Extensions of our results to more general settings (including various classes of positively curved Riemannian manifolds and other convexity assumptions) are discussed.

研究动机与目标

• 建立欧氏空间中严格均曲率凸区域内的自由边界极小超曲面的莫尔斯指数下界。
• 将莫尔斯指数与拓扑不变量相关联，特别是第一相对同调群与边界分量数。
• 将指数估计推广至满足曲率与凸性条件的更一般黎曼流形。
• 证明在凸域中具有统一有界指数的自由边界极小曲面的强紧致性定理。
• 验证已知例子（如Fraser-Schoen与Folha-Pacard-Zolotareva）的莫尔斯指数可任意大。

提出的方法

• 利用来自$N \wedge \omega^{\sharp}$的坐标构造的指标形式与测试函数，其中$\omega$属于满足切向边界条件的调和1-形式空间。
• 应用涉及黎曼曲率张量、里奇曲率与环境流形及其边界第二基本形式的夹紧条件。
• 结合[1]的方法与同调计算，推导出指数的下界。
• 依赖于满足切向边界条件的调和1-形式空间的维数等于$\dim H_1(M, \partial M; \mathbb{R})$的事实。
• 基于存在常向量场在全测地曲面上诱导平行1-形式的假设，采用反证法。
• 将方法推广至$\mathbb{R}^d$中的等距嵌入黎曼流形，在曲率与凸性假设下导出指数估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由边界极小超曲面的莫尔斯指数如何反映其拓扑复杂性？
• RQ2 在欧氏空间的域中，能否以第一相对同调群为基准建立指数的线性下界？
• RQ3 环境黎曼流形需满足何种条件，才能使此类指数估计成立？
• RQ4 单位球中已知的自由边界极小超曲面例子（如Fraser-Schoen与Folha-Pacard-Zolotareva）的指数是否无界？
• RQ5 能否从凸域中统一有界指数推导出强紧致性定理？

主要发现

• 在$\mathbb{R}^{n+1}$的严格均曲率凸区域中，适当嵌入的自由边界极小超曲面的莫尔斯指数满足$\operatorname{index}(M) \geq \frac{2}{n(n+1)} \dim H_1(M, \partial M; \mathbb{R})$。
• 在三维情形下，对于亏格为$g$且有$r$个边界分量的自由边界极小曲面，有$\operatorname{index}(M) \geq \frac{1}{3}(2g + r - 1)$。
• Fraser-Schoen与Folha-Pacard-Zolotareva在单位球中的例子具有任意大莫尔斯指数。
• Fraser与Li的紧致性定理被加强为：在凸域中具有统一有界指数的自由边界极小曲面的强紧致性结果。
• 在适当曲率条件下，指数估计可推广至紧致秩一对称空间中的严格均曲率凸域与平坦环面。
• 对于双凸域，存在广义指数估计，其形式为$\dim H_1(M, \partial M; \mathbb{R})$与$\dim H_{n-1}(M, \partial M; \mathbb{R})$的加权组合。