[论文解读] Index theorem for inhomogeneous hypoelliptic differential operators

Omar Mohsen|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文建立了在满足Rockland条件的余切丛滤子结构的流形上，非齐次拟椭圆微分算子的指标定理。通过推广Van-Erp对接触流形的方法，作者为任意滤子构造了形变广群，并证明了分析指标等于阿蒂yah-Singer指标在主符号的Connes-Thom逆像上的应用，将指标公式推广至非接触、高阶幂零结构。

ABSTRACT

We prove an index theorem for inhomogeneous differential operators satisfying the Rockland condition (hence hypoelliptic). This theorem extends an index theorem for contact manifolds by Van-Erp.

研究动机与目标

• 将Van-Erp对接触流形的指标定理推广至具有任意滤子结构的流形上的拟椭圆算子。
• 为一般滤子构造形变广群，将切广群框架推广至非接触情形。
• 利用Connes-Thom同构，为$H$-椭圆微分算子的分析指标建立拓扑公式。
• 通过将局部幂零群丛嵌入更大的群$\bar{G}_x$，克服在非局部常数幂零群丛上构造连续不可约表示场的障碍。
• 证明Rockland算子的分析指标等于其主符号的Connes-Thom逆像在Atiyah-Singer指标映射下的结果。

提出的方法

• 为余切丛的任意滤子构造形变广群，推广Van-Erp在接触流形上的构造。
• 将微分算子的主符号定义为在分次幂零李群$\oplus_{i=1}^r H^i_x / H^{i-1}_x$上的等变微分算子。
• 以Rockland条件作为主符号在幂零群$C^*$-代数中拟椭圆性与可逆性的判据。
• 通过中心正合列将局部幂零群$G_x$嵌入更大的群$\bar{G}_x$，以实现不可约表示的构造。
• 应用Connes-Thom同构$K(C_0(\mathfrak{g}^*)) \xrightarrow{\operatorname{Ind}_G} K(C^*G)$，将符号类与$K$-理论关联。
• 证明分析指标由$\operatorname{Ind}_{AS}(\operatorname{Ind}_G^{-1}([\sigma(D)]))$给出，其中$\operatorname{Ind}_{AS}$为Atiyah-Singer指标映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 接触流形的指标定理能否推广至具有余切丛任意滤子结构的普遍滤子流形？
• RQ2 如何为非接触、高阶幂零结构定义一致的形变广群？
• RQ3 Connes-Thom同构在非接触情形下，如何关联主符号与分析指标？
• RQ4 当群丛非局部常数时，如何克服构造连续不可约表示场的障碍？
• RQ5 Rockland条件在普遍滤子设定下是否仍能保证Fredholm性并支持拓扑指标公式？

主要发现

• 紧流形上$H$-椭圆微分算子$D$的分析指标由$\operatorname{Ind}_{AS}(\operatorname{Ind}_G^{-1}([\sigma(D)]))$给出，将Van-Erp公式推广至任意滤子结构。
• 对一般滤子的形变广群构造是可行的，并推广了接触情形，如[vEY17, CP15, Moh18]所示。
• 主符号$[\sigma(D)]$定义了$K(C^*\oplus_{i=1}^r H^i/H^{i-1})$中的类，经Connes-Thom同构映射至$K(C_0(\mathfrak{g}^*))$。
• 对每个$x \in M$，群$G_x = \oplus_{i=1}^r H^i_x / H^{i-1}_x$为分次幂零李群，其表示理论通过嵌入$\bar{G}_x$得以扩展，以保证不可约性。
• Rockland条件确保对所有非平凡单位表示$\pi$，有$\pi(\sigma(D))$为单射，从而蕴含$D$的拟椭圆性与Fredholm性。
• Connes-Thom同构的逆通过使用自由Carnot群的子mersions的提升过程构造，将[CGGP92]的结果推广至非常数丛情形。