[论文解读] Index Theory and the Baum-Connes conjecture

Thomas Schick|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文通過 C*-代數 K-理論，建立了流形上指標理論與 Baum-Connes 猜想之間的深刻聯繫，證明了橢圓微分運算子的解析指標自然地屬於與流形余切叢相關的 C*-代數的 K-理論。其主要貢獻在於表明：當 Baum-Connes 猜想成立時，可推出 Novikov 猜想，並為透過算子代數技術理解高階示性數的拓撲不變性提供了框架。

ABSTRACT

These notes are based on lectures on index theory, topology, and operator algebras at the "School on High Dimensional Manifold Theory" at the ICTP in Trieste, and at the Seminari di Geometria 2002 in Bologna. We describe how techniques coming from the theory of operator algebras, in particular $C^*$-algebras, can be used to study manifolds. Operator algebras are extensively studied in their own right. We will focus on the basic definitions and properties, and on their relevance to the geometry and topology of manifolds. The link between topology and analysis is provided by index theorems. Starting with the classical Atiyah-Singer index theorem, we will explain several index theorems in detail. Our point of view will be in particular, that an index lives in a canonical way in the K-theory of a certain $C^*$-algebra. The geometrical context will determine, which $C^*$-algebra to use. A central pillar of work in the theory of $C^*$-algebras is the Baum-Connes conjecture. Nevertheless, it has important direct applications to the topology of manifolds, it impliese.g. the Novikov conjecture. We will explain the Baum-Connes conjecture and put it into our context. Several people contributed to these notes by reading preliminary parts and suggesting improvements, in particular Marc Johnson, Roman Sauer, Marco Varisco und Guido Mislin. I am very indebted to all of them. This is an elaboration of the first chapter of the author's contribution to the proceedings of the above mentioned "School on High Dimensional Manifold Theory" 2001 at the ICTP in Trieste.

研究动机与目标

• 釐清 C*-代數與 K-理論在 Atiyah-Singer 指標定理及其推廣中的角色。
• 解釋橢圓微分運算子的指標如何自然地成為與流形相關的 C*-代數 K-理論中的一個元素。
• 將 Baum-Connes 猜想呈現為算子代數拓撲中的核心支柱，並闡述其對 Novikov 猜想的影響。
• 將框架擴展至實 C*-代數與實 K-理論，包含 8-週期 Bott 週期性與實 Baum-Connes 構造映射。

提出的方法

• 利用橢圓微分運算子的符號映射，在相對 K-理論 $K^0(DT^*M, ST^*M)$ 中定義一個元素。
• 透過流形 $M$ 的萬有覆疊的約化 C*-代數 $C^*_{\text{r}}\tilde{M}$ 的 K-理論構造解析指標。
• 應用 Atiyah-Singer 指標定理，於 C*-代數 K-理論背景下，連結拓撲指標與解析指標。
• 將複 C*-代數技術適應至實 C*-代數，包括使用實 Hilbert 空間與 8-週期 Bott 同構。
• 提出實 Baum-Connes 構造映射 $\mu_n: KO_n^\Gamma(E(\Gamma,\text{fin})) \to KO_n(C^*_{\mathbb{R},r}\Gamma)$ 及其與複版本的關係。
• 運用 K-理論中的長正合序列與五引理，連結複與實設定下 Baum-Connes 映射的單射性與滿射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 橢圓微分運算子在流形上的指標如何自然地嵌入至與 C*-代數相關的 K-理論中？
• RQ2 Baum-Connes 猜想在建立 Novikov 猜想時發揮何種精確作用？
• RQ3 C*-代數與 K-理論的理論如何從複係數推廣至實係數？Bott 週期性有何變化？
• RQ4 實 Baum-Connes 構造映射在與等變 KO-同調及實 K-理論的關係中具有何意義？
• RQ5 關於 Baum-Connes 映射單射性與滿射性的已知結果，如何在複與實設定之間轉移？

主要发现

• 橢圓微分運算子的解析指標自然地屬於流形 $M$ 的萬有覆疊的約化 C*-代數 $C^*_{\text{r}}\tilde{M}$ 的 K-理論中。
• Baum-Connes 猜想可推出 Novikov 猜想，為研究高階示性數的同倫不變性提供了強大工具。
• 對於實 C*-代數，Bott 週期性週期為 8，而非 2，進而形成 8-週期 K-理論框架。
• 實 Baum-Connes 構造映射 $\mu_n: KO_n^\Gamma(E(\Gamma,\text{fin})) \to KO_n(C^*_{\mathbb{R},r}\Gamma)$ 是同構，當且僅當其複版本為同構，此由五引理與證明的相容性所決定。
• 由於 8-週期結構，實 C*-代數的 K-理論長正合序列變為 24 項循環正合序列。
• 橢圓運算子符號的構造在 $K^0(DT^*M, ST^*M)$ 中產生明確定義的元素，透過 K-理論連結幾何與拓撲。