[论文解读] Index theory of uniform pseudodifferential operators

Alexander Engel|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文将罗伊对阿梅尼安流形的指标定理推广至有界几何流形上的多分次、椭圆、对称统一伪微分算子，建立了一个包含统一估计的局部指标公式。关键贡献是通过切尔特征，利用量身定制的Mayer–Vietoris归纳法和完成的de Rham上同调理论，证明了统一K-理论与统一K-同调之间的庞加莱对偶同构。

ABSTRACT

We generalize Roe's index theorem for graded generalized Dirac operators on amenable manifolds to multigraded elliptic uniform pseudodifferential operators. This generalization will follow as a corollary from a local index theorem that is valid on any manifold of bounded geometry. This local formula incorporates the uniform estimates that are present in the definition of our class of pseudodifferential operators which is more general than similar classes defined by other authors. We will revisit Spakula's uniform K-homology and show that multigraded elliptic uniform pseudodifferential operators naturally define classes in it. For this we will investigate uniform K-homology more closely, e.g., construct the external product and show invariance under weak homotopies. The latter will be used to refine and extend Spakula's results about the rough Baum-Connes assembly map. We will identify the dual theory of uniform K-homology. We will give a simple definition of uniform K-theory for all metric spaces and in the case of manifolds of bounded geometry we will give an interpretation of it via vector bundles of bounded geometry. Using a version of Mayer-Vietoris induction that is adapted to our needs, we will prove Poincare duality between uniform K-theory and uniform K-homology for spin-c manifolds of bounded geometry. We will construct Chern characters from uniform K-theory to bounded de Rham cohomology and from uniform K-homology to uniform de Rham homology. Using the adapted Mayer-Vietoris induction we will also show that these Chern characters induce isomorphisms modulo torsion.

研究动机与目标

• 将罗伊的指标定理——最初针对阿梅尼安流形上的广义狄拉克算子——推广至任意有界几何流形上的多分次、椭圆、对称统一伪微分算子。
• 通过引入算子类中的统一估计，在所有有界几何流形上建立一个有效的局部指标公式，无需阿梅尼安性假设。
• 为度量空间（特别是有界几何流形）定义并研究统一K-同调与统一K-理论，并通过切尔特征证明其庞加莱对偶性。
• 利用统一K-同调中的同伦不变性与外积结构，改进并扩展Špakula的粗糙鲍姆-康奈斯汇编映射。
• 构建从统一K-理论到有界de Rham上同调的切尔特征，以及从统一K-同调到统一de Rham同调的切尔特征，证明其在完成并消除挠率后诱导出同构。

提出的方法

• 引入有界几何流形上的一类新型统一伪微分算子，通过其核的统一性条件与符号估计来定义。
• 通过一致有界、椭圆算子的循环定义统一K-同调，并在弱同伦下建立其外积与同伦不变性。
• 构建一种适用于统一K-理论与K-同调的Mayer–Vietoris归纳法变体，使在有界几何的spin^c流形上证明庞加莱对偶性成为可能。
• 通过Connes的循环上同调定义有界de Rham上同调与统一de Rham同调，并利用改进的Mayer–Vietoris框架建立其对偶性。
• 构建从统一K-理论到有界de Rham上同调的切尔特征，以及从统一K-同调到统一de Rham同调的切尔特征，证明其在完成并消除挠率后成为同构。
• 通过包含狄拉克类的cap积、切尔特征与有界de Rham上同调中拓扑指标类的交换图，证明局部指标公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 罗伊对阿梅尼安流形的指标定理能否推广至任意有界几何流形上的多分次、椭圆、对称统一伪微分算子？
• RQ2 是否存在一种自然分类此类算子的统一K-同调理论？其与Špakula原始构造的关系如何？
• RQ3 能否通过合适的Mayer–Vietoris归纳法，在有界几何的spin^c流形上建立统一K-理论与统一K-同调之间的庞加莱对偶性？
• RQ4 从统一K-理论与K-同调到有界与统一de Rham（上）同调的切尔特征，在完成并消除挠率后是否诱导出同构？
• RQ5 该框架能否推广至带边界的流形？是否存在阿蒂亚-帕特迪-辛格指标定理的大尺度类比，以及η-不变量的相应推广？

主要发现

• 为任意有界几何流形上的多分次、椭圆、对称统一伪微分算子建立了局部指标公式，且无需阿梅尼安性假设。
• 证明了统一K-同调在弱同伦下保持不变，并具有明确定义的外积结构，从而改进了Špakula的原始构造。
• 通过量身定制的Mayer–Vietoris归纳法，证明了有界几何的spin^c流形上统一K-理论与统一K-同调之间的庞加莱对偶性。
• 构建了从统一K-理论到有界de Rham上同调的切尔特征，以及从统一K-同调到统一de Rham同调的切尔特征，并证明其在完成并消除挠率后成为同构。
• 有界de Rham上同调中的拓扑指标类在统一Roe代数上的迹下对应于分析指标，将罗伊的结果推广至统一伪微分算子的完整类。
• 该框架为将指标理论推广至带边界的非紧致流形奠定了基础，包括阿蒂亚-帕特迪-辛格定理的潜在推广与b-微分学的推广。