[论文解读] Indices of pseudodifferential operators on open manifolds

Alexander Engel|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文通过在有界几何流形上引入一类新的伪微分算子，将罗伊关于狄拉克算子的指标定理推广至一般椭圆伪微分算子。该研究建立了统一 $K$-同调与统一罗伊代数 $K$-理论之间的联系，通过粗装配映射实现，并证明了统一 $K$-同调与 $K$-理论之间的庞加莱对偶性，最终利用模挠的陈特征同构导出了广义指标定理。

ABSTRACT

We generalize Roe's Index Theorem for operators of Dirac type on open manifolds to elliptic pseudodifferential operators. To this end we introduce a class of pseudodifferential operators on manifolds of bounded geometry which is more general than similar classes defined by other authors. We revisit Spakula's uniform K-homology and show that our elliptic pseudodifferential operators naturally define classes there. Furthermore, we use the uniform coarse assembly map to relate these classes to the index classes of these operators in the K-theory of the uniform Roe algebra. Our investigation of uniform K-homology goes on with constructing the external product for it and deducing homotopy invariance. The next major result is the identification of the dual theory of uniform K-homology: uniform K-theory. We give a simple definition of uniform K-theory for all metric spaces and in the case of manifolds of bounded geometry we give an interpretation via vector bundles of bounded geometry over the manifold. This opens up the door for Chern-Weil theory and we define a Chern character map from uniform K-theory of a manifold to its bounded de Rham cohomology. We introduce a type of Mayer-Vietoris argument for these uniform (co-)homology theories which enables us to show firstly, that the Chern character induces an isomorphism modulo torsion, and secondly, that we have Poincare duality between uniform K-theory and uniform K-homology if the manifold is spin-c. Poincare duality together with the relation of uniform K-homology to the index theorem of Roe mentioned above directly leads to a generalization of the index theorem to elliptic pseudodiffential operators. Finally, using homotopy invariance of uniform K-homology we derive important results about the uniform coarse Baum-Connes conjecture establishing it equally important as the usual coarse Baum-Connes conjecture.

研究动机与目标

• 将罗伊关于狄拉克型算子的指标定理从狄拉克型算子推广至有界几何开流形上的所有椭圆伪微分算子。
• 定义一类新的伪微分算子，其推广了现有框架，并与统一 $K$-同调相容。
• 通过统一粗装配映射，建立统一 $K$-同调与统一罗伊代数 $K$-理论之间的联系。
• 从统一 $K$-理论构造至有界德拉姆上同调的陈特征映射，并证明其模挠同构。
• 证明自旋$^c$流形上统一 $K$-同调与 $K$-理论之间的庞加莱对偶性，从而导出广义指标定理。

提出的方法

• 在有界几何流形上引入一类新颖的伪微分算子，推广了先前的构造。
• 重新审视Špakula的统一 $K$-同调，并证明椭圆伪微分算子自然地在该理论中定义类。
• 利用统一粗装配映射，将统一 $K$-同调类与统一罗伊代数 $K$-理论中的指标类联系起来。
• 为度量空间定义统一 $K$-理论，并通过有界几何流形上的向量丛来解释其意义。
• 从统一 $K$-理论构造至有界德拉姆上同调的陈特征映射，并证明其模挠诱导同构。
• 建立自旋$^c$流形上统一 $K$-同调与 $K$-理论之间的庞加莱对偶性，从而实现罗伊指标定理的推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 罗伊关于狄拉克型算子的指标定理如何推广至开流形上的椭圆伪微分算子？
• RQ2 支持非紧流形上椭圆伪微分算子指标理论的适当统一 $K$-同调框架是什么？
• RQ3 如何利用统一粗装配映射将统一 $K$-同调与统一罗伊代数的 $K$-理论联系起来？
• RQ4 有界德拉姆上同调在非紧流形的拓扑指标构造中起什么作用？
• RQ5 自旋$^c$流形有界几何下，统一 $K$-同调与 $K$-理论之间的庞加莱对偶性是否成立？其对指标理论有何影响？

主要发现

• 引入了一类新的有界几何流形上的伪微分算子，推广了先前框架，并与统一 $K$-同调相容。
• 椭圆伪微分算子自然地在统一 $K$-同调中定义类，从而实现同伦不变的指标理论。
• 统一粗装配映射建立了统一 $K$-同调与统一罗伊代数 $K$-理论之间的桥梁。
• 定义了从统一 $K$-理论到有界德拉姆上同调的陈特征映射，并证明其模挠诱导同构。
• 自旋$^c$流形有界几何下，统一 $K$-同调与 $K$-理论之间存在庞加莱对偶性。
• 庞加莱对偶性与粗装配映射的结合，导致罗伊指标定理推广至所有有界几何开流形上的椭圆伪微分算子。