[论文解读] Indices of the iterates of $R^3$-homeomorphisms at Lyapunov stable fixed points

Francisco R. Ruiz del Portal, José Manuel Salazar|ArXiv.org|Apr 18, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用 4

一句话总结

该论文构造了在原点具有Lyapunov稳定的不动点的保向ℝ³-同胚，使得第m次迭代的不动点指标绝对值的增长速度超过任意给定的正序列{c_m}，证明了该指标序列可以无界。该构造利用流盒和通过Wilson定理对向量场进行修改，将复杂动力系统嵌入原点附近的锥形区域，展示了与平面动力系统之间根本性的差异——在平面动力系统中，指标是有界的且呈周期性。

ABSTRACT

Given any positive sequence (\{c_n\}_{n \in {\Bbb N}}), we construct orientation preserving homeomorphisms (f:{\Bbb R}^3 o {\Bbb R}^3) such that (Fix(f)=Per(f)=\{0\}), (0) is Lyapunov stable and (\limsup \frac{|i(f^m, 0)|}{c_m}= \infty). We will use our results to discuss and to point out some strong differences with respect to the computation and behavior of the sequences of the indices of planar homeomorphisms.

研究动机与目标

• 研究具有Lyapunov稳定不动点的ℝ³-同胚的迭代映射的不动点指标序列的行为。
• 确定此类指标序列是否可以相对于任意给定的正序列{c_m}以任意快速的速度增长。
• 将ℝ³中的动力系统与平面情况下指标呈现有界且周期性行为的已知情况加以对比。
• 通过证明在ℝ³中稳定不动点的指标增长不具有有界性，从而解决[22]中的问题2.3.1。

提出的方法

• 在上半空间π⁺上构造向量场X(x,y,z) = (-x,-y,z)，其流能捕获原点附近的轨道。
• 应用Wilson定理，在特定的流盒U_k和V_k中修改向量场，以生成具有受控周期轨道的局域动力系统。
• 利用仅在原点处为零的截断函数γ，定义光滑且紧支集的向量场X_1 = γG，以确保光滑性和紧支集。
• 在π⁺上构造一个具有可数个周期轨道的流ψ，并选择一个递减序列t_n → 0，使得ψ(t_n, ·)仅有原点为不动点和周期点。
• 使用保持锥形结构的同胚h_m，将时间-t_n映射ψ(t_n, ·)的副本粘贴到原点周围的对称锥E(T_{j,m})中，以确保Lyapunov稳定性。
• 将所得的局域动力系统与一个全局同胚h_0结合，使得h_0在每个锥上与局域映射一致，并保持原点为唯一的不动点和周期点。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有原点处Lyapunov稳定不动点的保向ℝ³-同胚，其不动点指标序列|i(f^m, 0)|是否可以超过任意给定的正序列{c_m}？
• RQ2 在ℝ³中，稳定不动点的指标增长不具有有界性，这是否与平面同胚中观察到的有界且周期性的行为形成鲜明对比？
• RQ3 即使在邻域中的极大不变集并非单点，而是包含一个2-圆盘和可数个圆周族的情况下，是否仍可构造出无界指标序列？
• RQ4 当将Shub-Sullivan猜想中周期点的增长与Lefschetz数的关系替换为ℝ³中的不动点指标时，该猜想是否被证伪？
• RQ5 是否可以在保持Lyapunov稳定性和不动点与周期点集仅为单点的前提下，使指标序列无界？

主要发现

• 对于任意正序列{c_m}，存在一个保向ℝ³-同胚f，使得limsup_{m→∞} |i(f^m, 0)| / c_m = ∞，从而证明了指标的无界增长。
• 所构造的同胚f满足Fix(f) = Per(f) = {0}，且0是Lyapunov稳定的，对于任意以原点为中心的闭球B，有Inv(B, f) = B ∩ {z=0}（即闭的2-圆盘）。
• 定理2中的同胚h满足limsup_{m→∞} log|i(h^m, 0)| / m = ∞，表明指标模长具有超指数增长。
• h的指标序列与定理1中相关同胚f的指标序列一致，且两者均为不动点集为孤立的同胚序列的极限。
• 该构造表明，平面动力系统中使用的端点方法在ℝ³中失效，因为当Inv(B,f)包含一个2-圆盘时，相应的端点并非孤立不变集。
• 对于反定向同胚S∘F和S∘H，奇数次迭代的指标为1，而偶数次迭代满足i((S∘H)^{2k}, 0) = -1 + 2i(h^{2k}, 0)，反映出偶数次指标的无界增长。