[论文解读] (Individual) Fairness for k-Clustering

Sepideh Mahabadi, Ali Vakilian|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2020

Facility Location and Emergency Management被引用 15

一句话总结

本文提出了一种用于公平 $k$-中位数和 $k$-均值聚类的局部搜索算法，实现了双准则近似：聚类代价在最优公平聚类代价的常数倍以内，且公平性条件——即每个点 $x$ 在半径 $r(x)$ 内都有一个聚类中心——被近似满足。该方法通过基于半径的公平性阈值平衡聚Cluster大小与代价，从而实现个体公平性。

ABSTRACT

We give a local search based algorithm for $k$-median and $k$-means (and more generally for any $k$-clustering with $\ell_p$ norm cost function) from the perspective of individual fairness. More precisely, for a point $x$ in a point set $P$ of size $n$, let $r(x)$ be the minimum radius such that the ball of radius $r(x)$ centered at $x$ has at least $n/k$ points from $P$. Intuitively, if a set of $k$ random points are chosen from $P$ as centers, every point $x\in P$ expects to have a center within radius $r(x)$. An individually fair clustering provides such a guarantee for every point $x\in P$. This notion of fairness was introduced in [Jung et al., 2019] where they showed how to get an approximately feasible $k$-clustering with respect to this fairness condition. In this work, we show how to get a bicriteria approximation for fair $k$-clustering: The $k$-median ($k$-means) cost of our solution is within a constant factor of the cost of an optimal fair $k$-clustering, and our solution approximately satisfies the fairness condition (also within a constant factor). Further, we complement our theoretical bounds with empirical evaluation.

研究动机与目标

• 通过确保每个点 $x$ 在半径 $r(x)$ 内存在一个聚类中心，解决 $k$-聚类中的个体公平性问题，其中 $r(x)$ 是包含至少 $n/k$ 个点的最小半径。
• 开发一种实用算法，近似最优公平 $k$-中位数和 $k$-均值聚类，同时保持公平性保证。
• 提供理论上的双准则近似界：聚类代价的常数倍近似，以及公平性违反的常数倍。
• 在真实场景中实证验证公平性与聚类代价之间的权衡。

提出的方法

• 将 $r(x)$ 定义为围绕点 $x$ 的最小半径，使其在数据集 $P$ 中包含至少 $n/k$ 个点。
• 使用局部搜索过程，通过交换中心迭代改进 $k$-聚类解，以减少 $\ell_p$ 代价，同时跟踪公平性违反情况。
• 通过确保每个点 $x$ 在解中某个中心的常数倍 $r(x)$ 范围内，来维持公平性。
• 应用双准则分析：解的代价在最优公平聚类代价的常数倍以内，且公平性违反程度最多为常数倍。
• 利用 $r(x)$ 的结构来限制每簇的点数，确保聚Cluster大小均衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部搜索算法能否在聚类代价上实现常数倍近似，同时在 $k$-聚类中近似满足个体公平性？
• RQ2 公平半径 $r(x)$ 与在个体公平性约束下的最优聚类代价之间有何关系？
• RQ3 在实际中，$k$-中位数和 $k$-均值聚类的聚类代价与公平性违反之间存在何种权衡？
• RQ4 能否在一般 $\ell_p$ 范数代价函数下，为公平 $k$-聚类实现双准则近似？

主要发现

• 所提算法实现了双准则近似：$k$-中位数和 $k$-均值代价在最优公平聚类代价的常数倍以内。
• 公平性条件被近似满足，每个点 $x$ 都在某个中心的常数倍 $r(x)$ 范围内。
• 该算法对代价和公平性均保持常数近似比，且与 $n$ 或 $k$ 无关。
• 实证评估证实，该算法在真实数据集上实现了公平性与聚类代价之间的有利权衡。