[论文解读] Individual-level randomness in a nonatomic population

Edward J. Green|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2019

Economic theories and models参考文献 7被引用 41

一句话总结

本文构建了一个由非原子测度空间索引的不可数家族的独立同分布随机向量，实现了一个精确的 Glivenko-Cantelli 类比和在经济应用中的同质抽样性质。

ABSTRACT

This paper provides a construction of an uncountable family of i.i.d. random vectors, indexed by the points of a nonatomic measure space, such that (a) a sample is a measurable function from the index space, and (b) an idealization of the Glivenko-Cantelli theorem holds exactly with respect to the measure on that space. That is, samples possess a.s. the distribution from which they are drawn. Moreover, any subspace of the index space with positive measure inherits the same property. This homogeneity property is important for applications of the construction in economics.

研究动机与目标

• 为大规模经济中的特征性风险模型提供安全基础的必要性提供动机。
• 提供一个以非原子性概率空间为索引的不可数独立同分布族的集合论构造。
• 确保样本在总体分布上的保持并且相对于总体度量严格地获得一个与 Glivenko-Cantelli 类似的性质。
• 展示同质性性质：任一正测度子空间在规范化为概率测度后继承相同的抽样行为。

提出的方法

• 使用集合论中的 Kolmogorov 型构造来定义具有指定分布的独立同分布随机向量族。
• 按一个抽象的非原子概率空间的元素来索引随机向量，而不是按单位区间点索引。
• 构造一个丰富的函数，通过对偶 Kolmogorov 扩展框架生成一个同质样本—分布极限。
• 建立一个样本-分布极限，使其相对于总体测度满足 Glivenko-Cantelli 性质的精确类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以构造一个由非原子空间索引、具有同质性的不可数独立同分布随机向量族，其样本是来自索引空间的可测函数？
• RQ2 在这种非原子、连续设定中，是否可能得到 Glivenko-Cantelli 定理的精确类比？
• RQ3 在规范化为概率测度后，任一正测度子空间是否继承相同的抽样性质？

主要发现

• 存在一个由非原子空间索引的不可数独立同分布随机向量族，具备所需的精确抽样性质。
• 该构造产生的样本在几乎处处（a.s.）相对于索引空间测度与原始 i.i.d. 向量的分布相同。
• 索引空间中任何正测度的子空间，规范化为概率测度后，保持相同的抽样性质。
• 实现了一个同质样本-分布极限，满足总体可测子集的 Glivenko-Cantelli 理想化的一个版本。
• 在温和条件下，所构建的同质极限在其两个参数（样本和总体）上并非联合可测，反映了此类极限对象的基本不可测性特征。