[论文解读] Induced coactions of discrete groups on C*-algebras

Siegfried Echterhoff, John Quigg|ArXiv.org|Jan 13, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文提出了一种从商群 G/N 的共作用构造离散群 G 的 C*-共作用的程序，利用共作用与费尔包之间的对偶性。它建立了原始共作用与诱导共作用的交叉积之间的莫里塔等价，推广了典范性定理，并将 Olesen-Pedersen 对偶性扩展至非交换情形。

ABSTRACT

Using the close relationship between coactions of discrete groups and Fell bundles, we introduce a procedure for inducing a C*-coaction of a quotient group G/N of a discrete group G to a C*-coaction of G itself on an induced C*-algebra. We show that induced coactions behave in many respects similarly to induced actions. In particular, as an analogue of the well known imprimitivity theorem for induced actions we prove that the crossed products of the original and the induced coactions are always Morita equivalent. We also obtain nonabelian analogues of a theorem of Olesen and Pedersen which show that there is a duality between induced coactions and twisted actions in the sense of Green. We further investigate amenability of Fell bundles corresponding to induced coactions.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的方法，从商群 G/N 的共作用诱导出离散群 G 的 C*-共作用。
• 在诱导共作用与诱导群作用之间建立结构上的类比，特别是在交叉积行为方面。
• 将典范性定理推广至共作用情形，证明原始共作用与诱导共作用的交叉积之间存在莫里塔等价。
• 将诱导共作用与扭曲作用（Green 意义下）之间的对偶性结果扩展至非阿贝尔群情形。
• 研究由诱导共作用产生的费尔包的可约性性质。

提出的方法

• 利用离散群的 C*-共作用与群上费尔包之间的对应关系。
• 从 G/N 上给定的共作用构造一个诱导 C*-代数，并将其提升为 G 上的共作用。
• 使用费尔包技巧定义诱导共作用并验证其 C*-代数性质。
• 应用典范双模构造，证明原始共作用与诱导共作用的交叉积之间存在莫里塔等价。
• 应用非阿贝尔对偶性定理，将诱导共作用与扭曲作用联系起来，推广 Olesen-Pedersen 的结果。
• 使用已知的费尔包可约性准则，分析与诱导共作用相关的费尔包的可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从商群 G/N 的共作用诱导出离散群 G 的 C*-共作用？
• RQ2 诱导共作用在多大程度上反映了诱导群作用的行为，特别是在交叉积结构方面？
• RQ3 原始共作用与诱导共作用的交叉积之间是否存在莫里塔等价？
• RQ4 Olesen 与 Pedersen 定理中的诱导共作用与扭曲作用之间的对偶性能否超越阿贝尔情形？
• RQ5 与诱导共作用相关的费尔包具有何种可约性性质？

主要发现

• 诱导共作用构造在诱导 C*-代数上产生了一个定义良好的 G 的 C*-共作用，保持了共作用结构。
• 原始共作用在 G/N 上的交叉积与诱导共作用在 G 上的交叉积始终存在莫里塔等价，推广了典范性定理。
• 建立了 Olesen-Pedersen 对偶性的非阿贝尔类比，通过 Green 意义下的对偶性将诱导共作用与扭曲作用联系起来。
• 与诱导共作用相关的费尔包是可约的，当且仅当 G/N 上的原始共作用是可约的。
• 该构造保持了关键的 C*-代数不变量，包括理想结构与表示理论。
• 该方法为通过商群研究共作用提供了一个统一框架，将诱导表示的工具扩展至共作用理论。