[论文解读] Induced differential forms on manifolds of functions

Cornelia Vizman|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 14

一句话总结

本文提出了一种在流形 M 和 S 上的微分形式之间定义自然的帽配对（hat pairing），以在 Fréchet 流形 𝒟(S,M)（即从 S 到 M 的光滑函数空间）上诱导微分形式。通过在 S 上的纤维积分，构造了一个映射 Ωᵖ(M) × Ωᑫ(S) → Ωᵖ⁺ᑫ⁻ᵏ(𝒟(S,M))，该映射推广了横截映射（transgression）和 bar 映射。其主要贡献在于建立了一套系统化的‘帽微积分’（hat calculus），该微积分保持与微分同胚作用及外微分的相容性，从而为 p-brane 理论和流体动力学中的对偶对（dual pairs）提供了应用基础。

ABSTRACT

Differential forms on the Fréchet manifold F(S,M) of smooth functions on a compact k-dimensional manifold S can be obtained in a natural way from pairs of differential forms on M and S by the hat pairing. Special cases are the transgression map associating (p-k)-forms on F(S,M) to p-forms on M (hat pairing with a constant function) and the bar map associating p-forms on F(S,M) to p-forms on M (hat pairing with a volume form). We develop a hat calculus similar to the tilda calculus for non-linear Grassmannians.

研究动机与目标

• 在紧致 k 维流形 S 到流形 M 的光滑函数空间 Fréchet 流形 𝒟(S,M) 上，发展一种自然且几何化的微分形式构造方法。
• 通过统一的帽配对构造（结合纤维积分），推广经典横截映射与 bar 映射。
• 建立帽配对与微分同胚群作用（Diff(M) 与 Diff(S)）及外微分的相容性，从而支持上同调应用。
• 通过在评估映射下的拉回，将 𝒟(S,M) 上诱导的微分形式与非线性 Grassmannian 上的 tilda 微积分联系起来。
• 将帽微积分应用于 p-brane 的哈密顿形式与理想不可压缩流体流动中的对偶对，通过动量映射实现。

提出的方法

• 通过纤维积分定义帽配对：ŝ(ω·α) = −∫ₛ ev*ω ∧ pr*α，其中 ev: S×𝒟(S,M) → M 是评估映射，pr: S×𝒟(S,M) → S 是投影映射。
• 使用内乘积显式表达诱导形式：(ŝ(ω·α))_f(Y_f¹,…,Y_f^{p+q−k}) = ∫_S f*(i_{Y_f^{p+q−k}}…i_{Y_f¹}(ω∘f)) ∧ α。
• 建立帽配对与外微分 d 及 Diff(M) 与 Diff(S) 在 𝒟(S,M) 上作用的相容性。
• 利用 f ∈ 𝒟(S,M) 处切向量与 f*TM 的截面之间的对应关系，通过拉回与收缩定义诱导形式。
• 通过投影 π: Emb(S,M) → Gr_k(M) 将 Emb(S,M) 上的帽映射与非线性 Grassmannian Gr_k(M) 上的 tilda 映射联系起来，证明 ŝω = π*tilde(ω)。
• 将 bar 映射（ŝ(ω·μ)，其中 μ 是 S 上的体积形式）应用于构造当 ω 在 M 上为辛形式时 𝒟(S,M) 上的辛结构，并识别出 Diff_ham(M,ω) 与 Diff_ex(S,μ) 的交换哈密顿作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从 M 和 S 上的微分形式诱导出函数空间 𝒟(S,M) 上的微分形式？
• RQ2 帽配对 Ωᵖ(M) × Ωᑫ(S) → Ωᵖ⁺ᑫ⁻ᵏ(𝒟(S,M)) 的几何与代数结构是什么？它与横截映射和 bar 映射有何关系？
• RQ3 帽微积分如何与无限维流形 𝒟(S,M) 上的微分同胚群作用及外微分相互作用？
• RQ4 Emb(S,M) 上的帽映射与非线性 Grassmannian Gr_k(M) 上的 tilda 映射之间存在何种关系？
• RQ5 如何利用帽微积分构造 p-brane 理论与理想不可压缩流体流动中动量映射与对偶对？

主要发现

• 帽配对 ŝ(ω·α) = −∫ₛ ev*ω ∧ pr*α 定义了一个从 Ωᵖ(M) × Ωᑫ(S) 到 Ωᵖ⁺ᑫ⁻ᵏ(𝒟(S,M)) 的良好定义的双线性映射，推广了横截映射与 bar 映射。
• 帽配对与外微分 d 及 Diff(M) 与 Diff(S) 在 𝒟(S,M) 上的自然作用相容，从而在 de Rham 上同调中诱导出良好定义的映射。
• 横截映射 ŝω = −∫ₛ ev*ω 对应于与常值函数 1 ∈ Ω⁰(S) 的配对，其在 f ∈ Emb(S,M) 处的取值为 ∫_S f*(i_{X_{p−k}}…i_{X₁}ω)，其中 X₁,…,X_{p−k} ∈ 𝔛(M)。
• 当 ω 在 M 上为辛形式时，bar 映射 ̄ω = ŝ(ω·μ)（μ 为 S 上固定的体积形式）在 𝒟(S,M) 上给出一个辛形式，并诱导出 Diff_ham(M,ω) 与 Diff_ex(S,μ) 的交换哈密顿作用。
• Diff_ex(S,μ) 作用的动量映射为 〈J(f), X_α〉 = ∫_S f*ω ∧ α，其非等变性由一个与 Lichnerowicz 上循环同调的上循环衡量。
• 上循环 σ_ℱ(f) = ∫_S f*ω ∧ P i_X i_Y μ 可积当且仅当上同调类 [f*ω] ∈ H²(S) 为整上同调类，从而将几何量子化与流体对偶对结构联系起来。