[论文解读] Induced Gravity from Curvature Density Preserving Diffeomorphisms

Ichiro Oda|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种新颖的引力模型，其中牛顿常数并非基本常数，而是通过曲率密度保持不变的微分同胚约束 $\pi_{\mu\nu} = \sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ 动态涌现。通过在爱因斯坦-希尔伯特作用量中施加此约束，该理论导出具有动态生成的牛顿常数的修正爱因斯坦方程，并在牛顿常数趋于无穷大的极限下退化为诱导引力。该模型为物质主导、空间平直的弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FRW）宇宙提供了唯一宇宙学解，预测标度因子 $a(t) \propto (t - t_0)^{2/3}$。

ABSTRACT

We construct not only an induced gravity model with the restricted diffeomorphisms, that is, transverse diffeomorphisms which preserves the curvature density, but also that with the full diffeomorphisms. By solving the equations of motion, it turns out that these models produce Einstein's equations with a certain Newton's constant in addition to the constraint for the curvature density. In the limit of the infinite Newton constant, the models give rise to induced gravity. Moreover, we discuss cosmological solutions on the basis of the gravitational models at hand.

研究动机与目标

• 探索牛顿常数是否可作为曲率密度动力约束下的积分常数涌现，而非作为基本常数。
• 通过用曲率密度约束 $\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ 取代无度规引力框架中的无度规约束 $\sqrt{-g} = 1$，扩展无度规引力框架。
• 构建一种引力模型，其中有效牛顿常数并非参数，而是由场方程导出的量。
• 在该新约束下分析经典宇宙学解，并确定允许的物质内容。

提出的方法

• 通过拉格朗日乘子场 $\lambda(x)$ 引入约束 $\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$，修改爱因斯坦-希尔伯特作用量以包含此动力条件。
• 从修改后的作用量 $S = \int d^4x \left[ \frac{1}{2\kappa'^2} \sqrt{-g} R - \lambda(x)(\sqrt{-g}R - \varepsilon_0) \right] + S_m$ 推导运动方程，导出修正的爱因斯坦方程。
• 将约束 $\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ 视为动力学方程，与无度规引力中非动力学的 $\sqrt{-g} = v_0$ 相区别。
• 在空间平直的弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FRW）度规下，对具有状态方程 $w = p/\rho = \text{const}$ 的理想流体求解运动方程。
• 利用能量-动量张量的迹与约束，推导出关联 $w$、$\rho_0$ 与 $\varepsilon_0$ 的一致性条件，得出 $w=0$。
• 分析 $\kappa'^{-2} \to \infty$ 的极限，表明该模型退化为诱导引力，证实牛顿常数完全由动力学生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 牛顿常数是否可通过曲率密度约束 $\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ 作为积分常数生成？
• RQ2 当曲率密度被固定时，该模型的宇宙学解与标准广义相对论有何不同？
• RQ3 在约束 $\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ 下，哪些物质内容在经典意义上被允许？
• RQ4 该模型在牛顿常数趋于无穷大的极限下是否退化为诱导引力？
• RQ5 当 $\Lambda = 0$ 时，宇宙学常数是否可被吸收进物质部分，同时保持曲率密度约束？

主要发现

• 该模型导出具有动态生成的牛顿常数 $\kappa'^{-2}$ 的修正爱因斯坦方程，其中 $\kappa'^{-2} = \varepsilon_0 / \rho_0$。
• 约束 $\sqrt{-g}R = \varepsilon_0$ 是一个涉及度量二阶导数的动力学方程，与无度规引力中非动力学的 $\sqrt{-g} = v_0$ 不同。
• 对于理想流体，唯一一致的经典解是状态方程为 $w = 0$ 的宇宙尘埃，意味着 $\rho_0 = \varepsilon_0 / \kappa'^{-2}$。
• 标度因子演化为 $a(t) = \left(\frac{3}{4}\varepsilon_0\right)^{1/3} (t - t_0)^{2/3}$，描述一个由非相对论性物质主导的减速宇宙。
• 在 $\kappa'^{-2} \to \infty$ 的极限下，该模型退化为诱导引力，证实牛顿常数完全由动力学生成。
• 当 $\Lambda = 0$ 时，宇宙学常数 $\Lambda$ 被吸收进物质能量-动量张量，该模型导出具有修正牛顿常数的无迹爱因斯坦方程。